Numero 'e' e dimostrazioni varie
Qualcuno, gentilmente mi può dimostrare (in maniera comprensibile, per capirci non come sta su wikipedia):
Teorema di Bolzano-Weierstrass (pti. di accumulazione);
Numero e cioè i limiti:
-1) $lim_(n->+oo) (1+1/n)^n=e$
-2) $lim_(x->+oo) (1+1/x)^x=e$
-3) $lim_(x->-oo) (1+1/x)^x=e$
-4) $lim_(x->0) (1+x)^(1/x)=e$
Binomio di Newton.
Grazie
Teorema di Bolzano-Weierstrass (pti. di accumulazione);
Numero e cioè i limiti:
-1) $lim_(n->+oo) (1+1/n)^n=e$
-2) $lim_(x->+oo) (1+1/x)^x=e$
-3) $lim_(x->-oo) (1+1/x)^x=e$
-4) $lim_(x->0) (1+x)^(1/x)=e$
Binomio di Newton.
Grazie
Risposte
Cosa intendi per dimostrare il numero e?
dimostrare che è compreso tra 2 e 3
Teorema di Bolzano-Weierstrass:
Sia $X inRR$ non vuoto, limitato e infinito. Allora $DX!=O/$ (Avendo indicato con $DX$ il derivato di $X$).
Poichè $X$ è limitato esistono $h$, $k in RR$ t.c. $Xsub[h,k]$. Si supponga per assurdo che $DX=O/$ e quindi per ogni $yin[h, k]$ esiste $r>0$ t.c. $I(y, r)$ (vale a dire un intorno di $y$) contiene al più un numero finito di punti di $X$; la famiglia ${I(y, r):yin[h, k]}$ costituisce un ricoprimento di aperti per $[h, k]$ e quindi, per il teorema di Borel-Heine esiste un sottoricoprimento finito ${I(y_(i)), r_(i)}_(i<=p)$, $p inNN$ che ricopre pure $X$, fatto assurdo poichè ogni intorno del sottoricoprimento contiene al più un numer finito di elementi di $X$, che quindi non potrebbe essere infinito.
Sia $X inRR$ non vuoto, limitato e infinito. Allora $DX!=O/$ (Avendo indicato con $DX$ il derivato di $X$).
Poichè $X$ è limitato esistono $h$, $k in RR$ t.c. $Xsub[h,k]$. Si supponga per assurdo che $DX=O/$ e quindi per ogni $yin[h, k]$ esiste $r>0$ t.c. $I(y, r)$ (vale a dire un intorno di $y$) contiene al più un numero finito di punti di $X$; la famiglia ${I(y, r):yin[h, k]}$ costituisce un ricoprimento di aperti per $[h, k]$ e quindi, per il teorema di Borel-Heine esiste un sottoricoprimento finito ${I(y_(i)), r_(i)}_(i<=p)$, $p inNN$ che ricopre pure $X$, fatto assurdo poichè ogni intorno del sottoricoprimento contiene al più un numer finito di elementi di $X$, che quindi non potrebbe essere infinito.
$e=lim_(ntoinfty)(1+1/n)^n$
E' possibile dimostrare che la successione $a_(n)={(1+1/n)^n}_(n in NN)$ è monotona crescente; dunque $a_(1)=2$ rappresenta l'estremo inferiore della successione$.
Allo stesso modo si domostra che $b_(n)={(1+1/n)^(n+1)}_(n in NN)$ è monotona decrescente e avendosi $a_(n)<=b_(n) AAninNN$ ne consegue che $a_(n)$ è superiormente limitata e quindi ammette limite $e$; poichè $b_(5)<3$ segue la tesi.
E' possibile dimostrare che la successione $a_(n)={(1+1/n)^n}_(n in NN)$ è monotona crescente; dunque $a_(1)=2$ rappresenta l'estremo inferiore della successione$.
Allo stesso modo si domostra che $b_(n)={(1+1/n)^(n+1)}_(n in NN)$ è monotona decrescente e avendosi $a_(n)<=b_(n) AAninNN$ ne consegue che $a_(n)$ è superiormente limitata e quindi ammette limite $e$; poichè $b_(5)<3$ segue la tesi.
La formula del binomio di Newton può essere facilmente verificata per induzione ricordando l'identità di Stiefel $((n),(h))+((n),(h+1))=((n+1),(h+1))$
scusate l'ignoranza ma l'identità di stiefel non la conosco, magari se qualcuno mi sà spiegare passo per passo, gli sarò molto grato 
"Matteos86":
scusate l'ignoranza ma l'identità di stiefel non la conosco
l'identità di Stiefel è quella scritta da giuseppe87x
io sapevo dell'identità ma non conosco Stiefel
prima volta che lo sento menzionare
qualcuno ne sa niente?
Boh io l'ho conosciuta sempre come identità di Stiefel.
qualcuno sà dimostrare x induzione il binomio?
( 
) proprio nessuno mi sà dimostrare i limiti e il binomio x induzione? (:smt009 )
) proprio nessuno mi sà dimostrare i limiti e il binomio x induzione? (:smt009 )
correggetemi se sbaglio:
$(a+b)^n=((n),(0))a^n+((n),(1))a^(n-1)b+((n),(2))a^(n-2)b^2+...+((n),(n))b^n$
posta vera per $=epsilon$ dimostro per $epsilon+1$:
$(a+b)^(epsilon+1)=((epsilon+1),(0))a^(epsilon+1)+...+((epsilon+1),(epsilon+1))b^(epsilon+1)=((epsilon+1),(0))a^(epsilon+1)+[((epsilon),(0))+((epsilon),(1))]a^(epsilon)b+..+[((epsilon),(i))+((epsilon),(i*n))]+...+((epsilon+1),(epsilon+1))b^(epsilon+1)$
perchè $[((epsilon),(0))+((epsilon),(1))]a^(epsilon)b+..+[((epsilon),(i))+((epsilon),(i*n))]+..$?
$(a+b)^n=((n),(0))a^n+((n),(1))a^(n-1)b+((n),(2))a^(n-2)b^2+...+((n),(n))b^n$
posta vera per $=epsilon$ dimostro per $epsilon+1$:
$(a+b)^(epsilon+1)=((epsilon+1),(0))a^(epsilon+1)+...+((epsilon+1),(epsilon+1))b^(epsilon+1)=((epsilon+1),(0))a^(epsilon+1)+[((epsilon),(0))+((epsilon),(1))]a^(epsilon)b+..+[((epsilon),(i))+((epsilon),(i*n))]+...+((epsilon+1),(epsilon+1))b^(epsilon+1)$
perchè $[((epsilon),(0))+((epsilon),(1))]a^(epsilon)b+..+[((epsilon),(i))+((epsilon),(i*n))]+..$?
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