Numero discontinuità funzione non decrescente
Ciao, amici! Se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione non decrescente tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$ possiede sia il limite destro sia quello sinistro in $x$, so che tale funzione ha un numero finito di discontinuità in ogni intervallo finito, ma non riesco proprio a dimostrarlo anche se, intuitivamente pensando a come può presentarsi il grafico, la cosa mi convince.
Qualcuno sarebbe così magnanimo da darmi una mano?
$\infty$ grazie!!!
Qualcuno sarebbe così magnanimo da darmi una mano?
$\infty$ grazie!!!
Risposte
Innanzitutto, se la funzione è non decrescente, l'esistenza dei limiti è una conseguenza e non un ipotesi aggiuntiva.
Inoltre, la funzione può avere (al più) infinite (numerabili) discontinuità in un intervallo limitato.
Inoltre, la funzione può avere (al più) infinite (numerabili) discontinuità in un intervallo limitato.
"DajeForte":Interessante. Come si può vedere?
Innanzitutto, se la funzione è non decrescente, l'esistenza dei limiti è una conseguenza e non un ipotesi aggiuntiva.
"DajeForte":Ah, quindi sono stato male informato...
Inoltre, la funzione può avere (al più) infinite (numerabili) discontinuità in un intervallo limitato.
Grazie di cuore!
Considera il limite a $0^-$ ed $I=(-1,0)$.
L'insieme $f(I)$ è limitato (è incluso in $[f(-1),f(0)]$ per monotonia).
Poni $s= "sup" f(I)$.
Dunque
$ forall x in I : f(x) <= s$,
$ forall epsilon > 0 , exists x_0 in I : f(x_0)> s- epsilon$.
Lascio a te concludere.
Per il secondo punto prendi come esempio una funzione che ha infiniti numerabili salti in [0,1] (ad esempio in $ 1- 1/n$) con salti corrispondenti ad una successione con serie convergente (ad esempio $ 2^{-n}$).
Puoi poi dimostrare che l'insieme dei salti in tutto $RR$ è al più numerabile.
L'insieme $f(I)$ è limitato (è incluso in $[f(-1),f(0)]$ per monotonia).
Poni $s= "sup" f(I)$.
Dunque
$ forall x in I : f(x) <= s$,
$ forall epsilon > 0 , exists x_0 in I : f(x_0)> s- epsilon$.
Lascio a te concludere.
Per il secondo punto prendi come esempio una funzione che ha infiniti numerabili salti in [0,1] (ad esempio in $ 1- 1/n$) con salti corrispondenti ad una successione con serie convergente (ad esempio $ 2^{-n}$).
Puoi poi dimostrare che l'insieme dei salti in tutto $RR$ è al più numerabile.
... e analogamente si considera l'estremo \(\inf{f(I)}\), la definizione di tale estremo e la monotonia di $f$ per il limite sinistro. Molto, molto interessante.
$\infty$ grazie!!!
Quindi non si può usare alcuna presunta continuità di $F$ su \((a,b-\delta)\) per dimostrare questo...
$\infty$ grazie!!!
Quindi non si può usare alcuna presunta continuità di $F$ su \((a,b-\delta)\) per dimostrare questo...
