Numero discontinuità funzione non decrescente

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione non decrescente tale che per ogni $x\in\mathbb{R}$ possiede sia il limite destro sia quello sinistro in $x$, so che tale funzione ha un numero finito di discontinuità in ogni intervallo finito, ma non riesco proprio a dimostrarlo anche se, intuitivamente pensando a come può presentarsi il grafico, la cosa mi convince.
Qualcuno sarebbe così magnanimo da darmi una mano?
$\infty$ grazie!!!

[DajeForte]

Innanzitutto, se la funzione è non decrescente, l'esistenza dei limiti è una conseguenza e non un ipotesi aggiuntiva.
Inoltre, la funzione può avere (al più) infinite (numerabili) discontinuità in un intervallo limitato.

[DavideGenova1]

"DajeForte":Innanzitutto, se la funzione è non decrescente, l'esistenza dei limiti è una conseguenza e non un ipotesi aggiuntiva.

Interessante. Come si può vedere?

"DajeForte":Inoltre, la funzione può avere (al più) infinite (numerabili) discontinuità in un intervallo limitato.

Ah, quindi sono stato male informato...
Grazie di cuore!

[DajeForte]

Considera il limite a $0^-$ ed $I=(-1,0)$.
L'insieme $f(I)$ è limitato (è incluso in $[f(-1),f(0)]$ per monotonia).
Poni $s= "sup" f(I)$.
Dunque

$ forall x in I : f(x) <= s$,
$ forall epsilon > 0 , exists x_0 in I : f(x_0)> s- epsilon$.
Lascio a te concludere.

Per il secondo punto prendi come esempio una funzione che ha infiniti numerabili salti in [0,1] (ad esempio in $ 1- 1/n$) con salti corrispondenti ad una successione con serie convergente (ad esempio $ 2^{-n}$).
Puoi poi dimostrare che l'insieme dei salti in tutto $RR$ è al più numerabile.

[DavideGenova1]

... e analogamente si considera l'estremo \(\inf{f(I)}\), la definizione di tale estremo e la monotonia di $f$ per il limite sinistro. Molto, molto interessante.
$\infty$ grazie!!!
Quindi non si può usare alcuna presunta continuità di $F$ su \((a,b-\delta)\) per dimostrare questo...