Numero di zeri di una funzione
Salve a tutti, sono al mio primo post, e sono gia a domandare 
Il professore discutendo in classe questa funzione f(x) =e^x -x -2 ha affermato che il numero massimo di zeri che puo avere è 2.
Ci ha fatto notare che la derivata seconda è sempre positiva quindi il numero di zeri corrisponde alla derivata... (bho) non ho capito che ragionamento ha fatto. Potreste farmi capire
Grazie
Il professore discutendo in classe questa funzione f(x) =e^x -x -2 ha affermato che il numero massimo di zeri che puo avere è 2.
Ci ha fatto notare che la derivata seconda è sempre positiva quindi il numero di zeri corrisponde alla derivata... (bho) non ho capito che ragionamento ha fatto. Potreste farmi capire
Grazie
Risposte
Ciao e benvenut*
Dallo studio della derivata prima si ricava che la tua funzione decresce per x<0 e cresce per x>0. Abbiamo un minimo in (0,-1).
Il fatto che la derivata seconda sia positiva per ogni x vuole dire che la tua funzione è convessa. ($uu$)
Il limite a ($+-infty$) è $+infty$.
Prova a fare un grafico qualitativo e dimmi se ti trovi.
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In alternativa puoi provare a risolverla così: $e^x=x+2$
tracci il grafico di $y=e^x$ e il grafico della retta $y=x+2$. Vedrai che si intersecano in due p.ti.
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p.s.
la forma benvenut* è palesemente copiata da adaBTTLS, qui ed in seguito ce ne scusiamo con l'autor*
Dallo studio della derivata prima si ricava che la tua funzione decresce per x<0 e cresce per x>0. Abbiamo un minimo in (0,-1).
Il fatto che la derivata seconda sia positiva per ogni x vuole dire che la tua funzione è convessa. ($uu$)
Il limite a ($+-infty$) è $+infty$.
Prova a fare un grafico qualitativo e dimmi se ti trovi.
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In alternativa puoi provare a risolverla così: $e^x=x+2$
tracci il grafico di $y=e^x$ e il grafico della retta $y=x+2$. Vedrai che si intersecano in due p.ti.
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p.s.
la forma benvenut* è palesemente copiata da adaBTTLS, qui ed in seguito ce ne scusiamo con l'autor*
@yokonunz: regalino di benvenut*
[asvg]ymin=-2;axes("labels");
stroke="blue";
plot("exp(x)-x-2");[/asvg]
[asvg]ymin=-2;axes("labels");
stroke="blue";
plot("exp(x)-x-2");[/asvg]
Si grazie, ma lui mi pare che abbia considerato la derivata come una funzione, riapplicando poi una sorta di teo di esistenza degli zeri.. in effetti la funziona derivata seconda non ha piu zeri.. xk è sempre positiva... potrebbe tornare?
Sia f(x) funzione reale definita nell'intervallo I=[a,b] e in tale intervallo derivabile due volte. Inoltre in I la derivata seconda sia sempre positiva (o negativa) e la f(x) assuma negli estremi dell'intervallo valori di segno opposto.
In tali ipotesi l'equazione f(x)=0 ammette una ed una sola radice interna a I.
Questo teorema viene utilizzato nella separazione delle radici, quando si cerca una soluzione approssimata di equazioni.
In pratica, nel tuo caso, le ipotesi sono verificate (ad esempio) su un intervallo $(-infty,0)$ $=>$ una soluzione
e nell'intervallo $(0,+infty)$ $=>$ una soluzione
Dunque due soluzioni. che ne dici?
In tali ipotesi l'equazione f(x)=0 ammette una ed una sola radice interna a I.
Questo teorema viene utilizzato nella separazione delle radici, quando si cerca una soluzione approssimata di equazioni.
In pratica, nel tuo caso, le ipotesi sono verificate (ad esempio) su un intervallo $(-infty,0)$ $=>$ una soluzione
e nell'intervallo $(0,+infty)$ $=>$ una soluzione
Dunque due soluzioni. che ne dici?
e nel caso di una funzione che ammetta piu di due zeri.. come ci si dovrebbe comportare? grazie !!!
"yokonunz":
e nel caso di una funzione che ammetta piu di due zeri..
dividerai il tuo intervallo [a,b] in modo tale che in ciascuna parte la tua funzione sia strettamente crescente (o decrescente) e valgano le ipotesi del teorema sopra citato.
In pratica è un po' quello che hai già fatto, dividendo il tuo intervallo in due parti.
Se non è chiaro, chiedi pure.
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