Numero di zeri dell'integrale

[kipliko]

Salve a tutti,
sono riuscito a trovare il testo di un vecchio esame al quale però non riesco a dare una soluzione, o meglio la do ma non so se è giusta oppure completamente sbagliata.

Il testo dice: "Trovare il numero di soluzione della seguente equazione $F(x) = int_{1}^{x} 3^t/(3+t) dt = -x$ nell'intervallo (-3, 0)".
Il procedimento che ho seguito è il seguente:
1) Sistemo gli estremi di integrazione con l'intervallo: $F(x) = -int_{0}^{1}3^t/(3+t) dt + int_{0}^{x}3^t/(3+t) dt + x = 0$
2) Derivata: $F(x)' = 3^x/(3+x) +1 = 0$
3) Segno: $(3^x + x + 3)/(3+x) = 0$ Positiva $x > 3$ (asintoto verticale).
A questo punto mi verrebbe da dire che non esistono zeri.
So bene che $F(0) = 0$, ma avrei una situazione tipo $-int_{0}^{1}3^t/(3+t) dt$ che restituisce un valore finito più 0 = 0.
E' corretto il ragionamento?

Grazie mille a tutti
Un saluto

Paolo

[quantunquemente]

secondo me basta osservare che $F(x)<0$ in $(-3,0)$ per concludere

[kipliko]

Grazie per la risposta,
ma secondo te il mio ragionamento è corretto nel caso in cui trovassi un esercizio simile durante l'esame?

Grazie mille

Paolo