Numero di radici di una funzione
Ho questo esercizio: Sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$, dimostrare che $e^x-p(x)$ ammette al massimo $n+1$ radici reali.
Io ho pensato di dire che $p(x)$ ammette al massimo $n$ radici reali per il teo. fondamentale dell'algebra e supponendo $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$,
poichè $e^x$ è una funzione strettamente crescente e strettamente maggiore di $0$, allora $e^x+a_0$ ammette al massimo uno zero, quindi in totale almmassimo $n+1$ zeri.
Però mi sembra poco rigoroso, posso davvero fare questo giochetto di sommare $n$ zeri di $a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ più uno zero di $e^x+a_0$ e dire che sono $n+1$? O se posso farlo, perchè posso?
Io ho pensato di dire che $p(x)$ ammette al massimo $n$ radici reali per il teo. fondamentale dell'algebra e supponendo $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$,
poichè $e^x$ è una funzione strettamente crescente e strettamente maggiore di $0$, allora $e^x+a_0$ ammette al massimo uno zero, quindi in totale almmassimo $n+1$ zeri.
Però mi sembra poco rigoroso, posso davvero fare questo giochetto di sommare $n$ zeri di $a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ più uno zero di $e^x+a_0$ e dire che sono $n+1$? O se posso farlo, perchè posso?
Risposte
No calma, non lo puoi fare.
Io userei l'induzione su $n$. Prima fai il caso base $n=1$ che è facile. Poi, sia $f(x)=e^x-p(x)$. Per induzione la derivata $f'(x)$ si annulla in al massimo $n$ punti. Cosa ne puoi dedurre?
Io userei l'induzione su $n$. Prima fai il caso base $n=1$ che è facile. Poi, sia $f(x)=e^x-p(x)$. Per induzione la derivata $f'(x)$ si annulla in al massimo $n$ punti. Cosa ne puoi dedurre?
Indico con $p_n(x)$ il polinomio di grado $n$
Se ragiono per induzione, assumendo la tesi vera al passo $n$, al passo $n+1$-esimo ho $f(x)=e^x-p_{n+1}(x)$ e provo che ha $(n+1)+1$ radici, dunque $f'(x)$ è del tipo $e^x - p_n(x)$, per l'ipotesi induttiva allora $f'(x)$ si annulla al massimo in $n+1$ punti, come fai a dire che si annulla in $n$ punti?
E poi anche se si annullasse in $n$ punti cosa dovrei dedurne? Che ha $n$ estremi relativi? Ma poi cosa ci faccio, non vedo modo di sfruttare il teorema degli zeri o altro su $f$. Non riesco ad arrivarci.
Se ragiono per induzione, assumendo la tesi vera al passo $n$, al passo $n+1$-esimo ho $f(x)=e^x-p_{n+1}(x)$ e provo che ha $(n+1)+1$ radici, dunque $f'(x)$ è del tipo $e^x - p_n(x)$, per l'ipotesi induttiva allora $f'(x)$ si annulla al massimo in $n+1$ punti, come fai a dire che si annulla in $n$ punti?
E poi anche se si annullasse in $n$ punti cosa dovrei dedurne? Che ha $n$ estremi relativi? Ma poi cosa ci faccio, non vedo modo di sfruttare il teorema degli zeri o altro su $f$. Non riesco ad arrivarci.
Siccome $p(x)$ ha grado $n$, la derivata di $p(x)$ ha grado $n-1$ e quindi per ipotesi induttiva la derivata $f'(x)=e^x-p'(x)$ ha al massimo $(n-1)+1=n$ zeri.
Ora hai una funzione $f$ derivabile in tutto $RR$ che ha al massimo $n$ estremi relativi. Riesci a dedurne che ha al massimo $n+1$ zeri?
Pensa per esempio a una funzione che ha due estremi relativi, e prova a mostrare che ha al massimo tre zeri. Poi generalizza.
Ora hai una funzione $f$ derivabile in tutto $RR$ che ha al massimo $n$ estremi relativi. Riesci a dedurne che ha al massimo $n+1$ zeri?
Pensa per esempio a una funzione che ha due estremi relativi, e prova a mostrare che ha al massimo tre zeri. Poi generalizza.
Okay dunque partendo dal fatto che $f'(x)$ si annulla al massimo in $n$ punti, siano questi $x_1,\cdots,x_n$,
allora $f(x)$ strett. monotona $\forall x\in[x_i,x_{i+1}]$ con $i=1,\cdots,n-1$, dunque in ognugno di quegli intervalli può esserci al massimo 1 zero (se c'è è unico), dipendentemente dal fatto che $f(x_i)f(x_{i+1})<0$ (teo degli zeri), essendoci $n-1$ intervalli, $n-1$ zeri. Inoltre per lo stesso ragionamento ci sarà al massimo uno zero fra $[x_n,+\infty)$ e un altro fra $(-\infty, x_0]$
Dunque in totale $(n-1) +1 + 1=n+1$ zeri
Va bene come ragionamento? Ci sono strade più veloci o comunque cose migliorabili?
allora $f(x)$ strett. monotona $\forall x\in[x_i,x_{i+1}]$ con $i=1,\cdots,n-1$, dunque in ognugno di quegli intervalli può esserci al massimo 1 zero (se c'è è unico), dipendentemente dal fatto che $f(x_i)f(x_{i+1})<0$ (teo degli zeri), essendoci $n-1$ intervalli, $n-1$ zeri. Inoltre per lo stesso ragionamento ci sarà al massimo uno zero fra $[x_n,+\infty)$ e un altro fra $(-\infty, x_0]$
Dunque in totale $(n-1) +1 + 1=n+1$ zeri
Va bene come ragionamento? Ci sono strade più veloci o comunque cose migliorabili?
Sì mi sembra tutto ok. Puoi anche dire che tra due zeri di $f$ c'è sicuramente un punto in cui la derivata si annulla (teorema di Rolle) e quindi se ci sono al massimo $n$ punti in cui la derivata si annulla allora ci sono al massimo $n+1$ zeri di $f$.
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