Numero di radici di un equazione

[UbuntuRules]

Salve a tutti,
Ho questo esercizio che chiede:
"Trovare il numero di zeri dell'equazione $ 1/5x^5-x^3+2x+1=0 $ ".
Ora, si vede facilmente che per x=0 il risultato è positivo e per x=-1 è negativo. Essendo la funzione continua, questo dovrebbe significare per il teorema degli zeri, che esiste almeno una radice nell'intervallo (-1,0). Ma come faccio a sapere quante sono?

[Seneca1]

Prova a fare uno studio della monotonia di quel polinomio...

[UbuntuRules]

Significa studiare il segno della derivata prima?

[Seneca1]

Sì, esatto. Orientati e cerca di capire se ti bastano le informazioni che ti dà la derivata prima.

[UbuntuRules]

Ma scusami per capire il segno della derivata prima dovrei trovare le radici di un polinomio di quarto grado, come faccio?

[Seneca1]

Con una sostituzione... $t = x^2$.

[UbuntuRules]

Perdonami credevo che non si potesse fare quando compaiono dei termini noti, ma probabilmente ricordavo male. Quindi avrei $ x^4-3x^2+2 $ che diventa $ t^2-3t+2 $ che si annulla per t=2 e t=1. Dunque le mie soluzioni sarebbero $x = pm sqrt(2) $ e $ x = pm 1 $. Ma come si fa a vedere in quali intervalli è positiva e in quali è negativa?
P.S. Ho veramente poca dimestichezza coi polinomi di grado maggiore di 2

[Seneca1]

Scrivi $x^4-3x^2+2 = ( x + sqrt(2) ) * ( x - sqrt(2) ) * ( x + 1 ) * ( x - 1 )$

Come si fa a studiare il segno di un prodotto? Fai la tabellina dei segni...

[UbuntuRules]

Scusami di nuovo, a quanto pare per oggi sono fuso e persino queste stupidaggini non mi vengono più in mente...comunque tirando le somme avrei che la funzione è sempre crescente tra -1 e 1 quindi posso rispondere al quesito di partenza dicendo che esiste un unico zero per l'equazione. Ti ringrazio molto per la pazienza infinita!