Numero di Napier e Successioni
Ciao a tutti,
Nei complementi del libro di Analisi Matematica che uso, per dimostrare che la successione $ a_n = (1 + 1/n)^n $ converge a $ e $, ne dimostrano prima il carattere strettamente crescente e poi la limitatezza, derivandone così la convergenza.
Ometto la dimostrazione che $ {a_n} $ strettamente crescente in quanto non è necessaria alla domanda che voglio porvi. Nel dimostrare però che $ {a_n} $ è limitata, essi pongono $ b_n = a_n*(1 + 1/n) = (1 + 1/n)^(n+1) > a_n $ e dimostrano che $ {b_n} $ è strettamente decrescente.
Infine scrivono che, ed è questo il passaggio che mi è oscuro
, che $ 0
Mi dareste qualche delucidazione?
Grazie e Buona Giornata
Nei complementi del libro di Analisi Matematica che uso, per dimostrare che la successione $ a_n = (1 + 1/n)^n $ converge a $ e $, ne dimostrano prima il carattere strettamente crescente e poi la limitatezza, derivandone così la convergenza.
Ometto la dimostrazione che $ {a_n} $ strettamente crescente in quanto non è necessaria alla domanda che voglio porvi. Nel dimostrare però che $ {a_n} $ è limitata, essi pongono $ b_n = a_n*(1 + 1/n) = (1 + 1/n)^(n+1) > a_n $ e dimostrano che $ {b_n} $ è strettamente decrescente.
Infine scrivono che, ed è questo il passaggio che mi è oscuro
, che $ 0Mi dareste qualche delucidazione?
Grazie e Buona Giornata
Risposte
Essendo ${b_n}$ strettamente decrescente, in particolare hai che $b_1 > b_n$, $\forall n\in\NN$. Ma allora hai che $a_n$ è sempre strettamente positivo e strettamente minore di $b_n$ per definizione (in particolare sarà allora strettamente minore anche di $b_1$ per quanto precedentemente detto). Quindi anche se ${a_n}$ è strettamente crescente, il generito termine $a_n$ non può mai "crescere" oltre $b_n$ che, in particolare, è minore di $b_1$. Allora, avendo $b_1$ un valore finito calcolabile direttamente, in questo caso $b_1=4$, hai che la ${a_n}$ è limitata.
"Injo":
Ma allora hai che $a_n$ è sempre strettamente positivo e strettamente minore di $b_n$ per definizione (in particolare sarà allora strettamente minore anche di $b_1$ per quanto precedentemente detto).
In pratica bisogna leggere la disequazione sia da destra che da sinistra per capire bene che ${a_n} $ cresce e poi converge ad un $ a_n $ che è minore di un particolare $ b_n $ il quale a sua volta è minore di 4?
Beh sì, praticamente quella disequazione è diretta conseguenza di tutte le cose che hai scritto tu nel tuo primo post.
"Injo":
Beh sì, praticamente quella disequazione è diretta conseguenza di tutte le cose che hai scritto tu nel tuo primo post.
Grazie mille, mi ero perso in un bicchier d'acqua
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