Numero degli zeri

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi.
Ho bisogno di sapere come, data una funzione, riuscireste a risolvere questo doppio quesito:

- La funzione ammette degli zeri?
- Se sì, quanti?

So come si calcola uno zero, ma non so come calcolare quanti ne sono e non so quando dire se la funzione data li ammette.

[gugo82]

Dipende dalla funzione, ovviamente: se si riesce a fare un conto esplicito, tanto meglio; se no, bisogna arrangiarsi.

Nei casi in cui il conto esplicito non sia un'opzione praticabile, in generale, l'idea è quella di applicare il teorema degli zeri, con l'ausilio di possibili informazioni riguardanti la monotonia della funzione.

[gio73]

Ciao, proviamo con un esercizio?
OT
come è andato l'esame?
OT

[Mr.Mazzarr]

"gugo82":Dipende dalla funzione, ovviamente: se si riesce a fare un conto esplicito, tanto meglio; se no, bisogna arrangiarsi.

Nei casi in cui il conto esplicito non sia un'opzione praticabile, in generale, l'idea è quella di applicare il teorema degli zeri, con l'ausilio di possibili informazioni riguardanti la monotonia della funzione.

Quindi non c'è un metodo pratico e veloce per capire se e quanti zeri ammette la funzione, ma bisogna applicare 'sto benedetto teorema. Gugo sapresti spiegarmi come si potrebbe applicare il teorema?

@gio: purtroppo non sono potuto andare a fare l'esame per problemi in famiglia, vado il 14 Febbraio.

[Kashaman]

Mi azzardo a fare un esempietto :

Supponiamo di avere $f(x)=1/x -log(x)$. E supponiamo di voler sapere Quanti zeri ha questa funzione. Per prima cosa, se esistono, questi vanno cercati in $]0,+\infty[$.
Per $x->+\infty -> f(x) ->-\infty$ e $lim_{x->0^+} f(x)=+\infty$ (1) ,
$f'(x)= -1/x^2-1/x = (-1-x)/x^2$ , $f'(x) <0 AA x \in Domf$ <-- ciò ci dice che $f$ è strettamente decrescente. (2)
Da (1) e (2) ne ricavi che $EE y \in RR : f(y)=0$ , e dalla stretta monotonia ne deduci che questo è unico.

[Kashaman]

Come utile esercizio, vedi se esistono e quante soluzioni ha questa equazione :
$\sqrt(x) - log(x) = 0$

[gio73]

$x^3+3^x=0$
quante soluzioni ha?
qui un ragionamento grafico

[Kashaman]

Secondo me il ragionamento grafico andrebbe evitato...
Si può operare con le funzioni semplici, ma supponiamo di voler sapere quanti zeri ha la funzione
$log(arctg(e^(\sqrt(x)))-e^(log(x^10))=0$
Con quel metodo si dovrebbe confrontare il grafico di $log(arctg(e^(\sqrtx))$ con quello di $e^(log(x^10))$.. a mente, solo un calcolatore saprebbe farlo.. allora si dovrebbero studiare separatamente le due funzioni per poi disegnarle in un unico grafico e capire più o meno dove si intersecano, tedioso e ci vuole tempo!
La cosa più saggia da fare è studiare , almeno nei punti essenziali la nostra $f(x)$. Ad esempio capire come si comporta agli estremi dell'insieme di definizione, studiarne la sua monotonia.. e vedere dove cadono i punti minimi e massimi se ve ne sono, questo è più che sufficiente per avere una stima degli zeri di una funzione!

Questo è il metodo che preferisco, anche se delle volte il metodo grafico è più veloce se si conoscono già i grafici delle funzioni.

Comunque non esiste un metodo generale..o meglio, altre volte si può ricorrere a degli stratagemmi per non fare questo e un calcolo.
Ad esempio, se vogliamo dimostrare che $x=ln(x)$ non ha soluzione si può ricorrere alla stretta concavità del logaritmo in base naturale.
Infatti vale che $log(x) < x-1

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[Mr.Mazzarr]

"Kashaman":Mi azzardo a fare un esempietto :

Supponiamo di avere $f(x)=1/x -log(x)$. E supponiamo di voler sapere Quanti zeri ha questa funzione. Per prima cosa, se esistono, questi vanno cercati in $]0,+\infty[$.
Per $x->+\infty -> f(x) ->-\infty$ e $lim_{x->0^+} f(x)=+\infty$ (1) ,
$f'(x)= -1/x^2-1/x = (-1-x)/x^2$ , $f'(x) <0 AA x \in Domf$ <-- ciò ci dice che $f$ è strettamente decrescente. (2)
Da (1) e (2) ne ricavi che $EE y \in RR : f(y)=0$ , e dalla stretta monotonia ne deduci che questo è unico.

Prima di cimentarmi nell'esercizio che mi hai dato, volevo un attimo delucidazioni da questo post.
In base a cosa hai studiato la monotonia e dedotto che ha un solo zero? Per il teorema degli zeri?

[gio73]

Allora ... intanto sappiamo che la funzione è continua nel suo insieme di definizione (dimmi tu perchè)
1)poi sappiamo che a un estremo è positiva e all'altro è negativa, dunque prima o poi l'asse x lo deve incontrare, 1 volta? 3 volte? 5 volte?
2)dopo facciamo la derivata prima e vediamo come va, su e giù quante volte, oppure solo su o solo giù: troviamo che è monotona strettamente decrescente (solo giù) e ne concludiamo che incontra l'asse x una volta sola

Mi sono espressa tanto male?

[Kashaman]

"Mr.Mazzarr":[quote="Kashaman"]Mi azzardo a fare un esempietto :

Supponiamo di avere $f(x)=1/x -log(x)$. E supponiamo di voler sapere Quanti zeri ha questa funzione. Per prima cosa, se esistono, questi vanno cercati in $]0,+\infty[$.
Per $x->+\infty -> f(x) ->-\infty$ e $lim_{x->0^+} f(x)=+\infty$ (1) ,
$f'(x)= -1/x^2-1/x = (-1-x)/x^2$ , $f'(x) <0 AA x \in Domf$ <-- ciò ci dice che $f$ è strettamente decrescente. (2)
Da (1) e (2) ne ricavi che $EE y \in RR : f(y)=0$ , e dalla stretta monotonia ne deduci che questo è unico.

Prima di cimentarmi nell'esercizio che mi hai dato, volevo un attimo delucidazioni da questo post.
In base a cosa hai studiato la monotonia e dedotto che ha un solo zero? Per il teorema degli zeri?[/quote]
Sì.. è una versione più forte del teorema degli zeri, in effetti sai che da una parte f va a $+\infty$ dall'altra a $-\infty$ ed intuitivamente, data la continuità di $f$, ne deduciamo che $f$ deve incontrare l'asse x almeno una volta.
L'unicità dello zero sta nel fatto che f è monotona strettamente decrescente, se ce ne fossero due , ad esempio, la funzione dovrebbe scendere e poi risalire, il che implicherebbe l'esistenza di un punto di minimo che non c'è.

[gio73]

"Kashaman":[quote="Mr.Mazzarr"][quote="Kashaman"]Mi azzardo a fare un esempietto :

Supponiamo di avere $f(x)=1/x -log(x)$. E supponiamo di voler sapere Quanti zeri ha questa funzione. Per prima cosa, se esistono, questi vanno cercati in $]0,+\infty[$.
Per $x->+\infty -> f(x) ->-\infty$ e $lim_{x->0^+} f(x)=+\infty$ (1) ,
$f'(x)= -1/x^2-1/x = (-1-x)/x^2$ , $f'(x) <0 AA x \in Domf$ <-- ciò ci dice che $f$ è strettamente decrescente. (2)
Da (1) e (2) ne ricavi che $EE y \in RR : f(y)=0$ , e dalla stretta monotonia ne deduci che questo è unico.

Prima di cimentarmi nell'esercizio che mi hai dato, volevo un attimo delucidazioni da questo post.
In base a cosa hai studiato la monotonia e dedotto che ha un solo zero? Per il teorema degli zeri?[/quote]
Sì.. è una versione più forte del teorema degli zeri, in effetti sai che da una parte f va a $+\infty$ dall'altra a $-\infty$ ed intuitivamente, data la continuità di $f$, ne deduciamo che $f$ deve incontrare l'asse x almeno una volta.
L'unicità dello zero sta nel fatto che f è monotona strettamente decrescente, se ce ne fossero due , ad esempio, la funzione dovrebbe scendere e poi risalire, il che implicherebbe l'esistenza di un punto di minimo che non c'è.[/quote]

Ciao kash,
ho provato a farmi un disegnino e mi pare che se vogliamo far toccare la nostra funzione più di una volta l'asse delle x abbiamo bisogno di un punto di minimo relativo e di un punto di massimo relativo, inoltre se la funzione incontra l'asse delle x solo due volte allora o nel punto di massimo relativo o nel punto di minimo relativo la nostra funzione vale 0, sei d'accordo?

[Mr.Mazzarr]

Il discorso sulla esistenza di un unico zero se la funzione cresce o decresce strettamente l'ho capita.
Io la monotonia di una funzione sono solito ricavarla da $f'(x) > 0$, ma in questa occasione ho bisogno anche di sapere se è strettamente o no. Come posso procedere quindi?

[gio73]

"Kashaman":Come utile esercizio, vedi se esistono e quante soluzioni ha questa equazione :
$\sqrt(x) - log(x) = 0$

Non so se MrMazzar risponderà... ma la domanda mi piace e vorrei provare a rispondere con ragionamento grafico

Allora a mio avviso la prima funzione si trova sempre sopra la seconda, come la funzione $f(x)=x^2$
nel I quadrante si trova sempre sotto la funzione $f(x)=e^x$
di conseguenza la loro differenza non potrà mai essere 0 anzi sarà sempre un numero positivo. L'equazione non ha nessuna soluzione.

[gugo82]

"gio73":[quote="Kashaman"]Come utile esercizio, vedi se esistono e quante soluzioni ha questa equazione :
$\sqrt(x) - log(x) = 0$

Non so se MrMazzar risponderà... ma la domanda mi piace e vorrei provare a rispondere con ragionamento grafico

Allora a mio avviso la prima funzione si trova sempre sopra la seconda, come la funzione $f(x)=x^2$
nel I quadrante si trova sempre sotto la funzione $f(x)=e^x$
di conseguenza la loro differenza non potrà mai essere 0 anzi sarà sempre un numero positivo. L'equazione non ha nessuna soluzione.

[/quote]
La supposta è giusta.

Per ottenere una dimostrazione carina si può ragionare come segue.

Chiamiamo \(\phi (x):=\sqrt{x}\) e \(\psi (x):=\log x\), cosicché \(f(x)=\phi (x)-\psi (x)\). Vogliamo mostrare che \(f(x)>0\), il che equivale a provare che \(\phi (x)>\psi (x)\) per \(x>0\).
Evidentemente le funzioni \(\phi\) e \(\psi\) sono derivabili in \(]0,+\infty[\) e si ha:
\[
\phi^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \text{e} \qquad \psi^\prime (x)=\frac{1}{x}\; ;
\]
si vede che:
\[
\phi^\prime (x) \geq \psi^\prime (x) \qquad \Leftrightarrow \qquad x\geq 4\; .
\]
Allora per \(x\geq 4\) si ha:
\[
\phi (t)\Big|_4^x = \int_4^x \phi^\prime (t)\ \text{d} t \geq \int_4^x \psi^\prime (t)\ \text{d} t = \psi (t)\Big|_4^x
\]
il che equivale a:
\[
\sqrt{x} \geq \log x +\underbrace{2- 2\log 2}_{\color{red}{\approx 0.6137>0}} > \log x\; ,
\]
sicché \(\phi (x)>\psi (x)\) per \(x\in [4,+\infty[\).
D'altra parte, per \(0 \[
\phi (t)\Big|_x^4 = \int_x^4 \phi^\prime (t)\ \text{d} t \leq \int_x^4 \psi^\prime (t)\ \text{d} t = \psi (t)\Big|_x^4
\]
il che equivale a:
\[
2-\sqrt{x}\leq 2\log 2 - \log x \qquad \Leftrightarrow \qquad \sqrt{x} \geq \log x+\underbrace{2-2\log 2}_{\color{red}{\approx 0.6137>0}} >\log x\; ,
\]
e dunque è \(\phi (x)>\psi (x)\) anche per \(x\in ]0,4[\).
Pertanto \(\phi (x)>\psi (x)\) per ogni \(x\in ]0,+\infty[\) ed abbiamo vinto. \(\square\)

In realtà abbiamo dimostrato, per una via non del tutto usuale, che vale la minorazione:
\[
f(x) \geq 2-2\log 2 = f(4)\; ,
\]
cioè che \(\displaystyle \min_{]0,+\infty[} f = f(4)\).
Quindi una strategia più standard per ottenere la tesi \(f(x)>0\) poteva essere questa:

[*:210afpqz] studiare la monotonia di \(f\) e trovarne il minimo assoluto (che esiste, perché \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty=\lim_{x\to +\infty} f(x)\));

[/*:m:210afpqz]
[*:210afpqz] calcolare esplicitamente il valore minimo di \(f\) e constatare che esso è \(>0\).[/*:m:210afpqz][/list:u:210afpqz]

[gio73]

La seconda l'ho capita, la prima la rileggo con calma.