Numero complesso z con 2 radici m-esime tra loro coniugate
Ho cercato a lungo di risolvere questo esercizio e, per quanto io sia consapevole che si tratti di una sciocchezza non ne vengo davveo fuori. A voi il testo.
Supponiamo che il numero complesso "z" abbia 2 radici m-esime fra loro coniugate. E' vero che allora tale numero è reale? Mostrare poi che se "w" è radice m-esima di un numero reale "z" allora anche il coniugato di "w" è radice m-esima di "z".
Supponiamo che il numero complesso "z" abbia 2 radici m-esime fra loro coniugate. E' vero che allora tale numero è reale? Mostrare poi che se "w" è radice m-esima di un numero reale "z" allora anche il coniugato di "w" è radice m-esima di "z".
Risposte
Per quel che riguarda la prima questione, basta risolvere il seguente:
Esercizio: calcolare le radici quarte, seste, ottave, decime, etc... di \(\imath\).
Per la seconda, basta tener presente che il passaggio al coniugato è "distributivo rispetto al prodotto", nel senso che \(\overline{z\ \zeta}=\overline{z}\ \overline{\zeta}\).
Esercizio: calcolare le radici quarte, seste, ottave, decime, etc... di \(\imath\).
Per la seconda, basta tener presente che il passaggio al coniugato è "distributivo rispetto al prodotto", nel senso che \(\overline{z\ \zeta}=\overline{z}\ \overline{\zeta}\).
Vorrei provare...
$z^4=i$
$(a+ib)^4=i$
$(a^4+4a^3ib+6a^2i^2b^2+4ai^3b^3+b^4)=i$
$a^4+b^4-6a^2b^2 +b^4+4a^3bi-4ab^3i=i$
a questo punto per trovare i due numeri a e b devo imporre le seguneti condizioni:
la parte reale si annulla
$a^4+b^4-6a^2b^2=0$
mentre il coefficiente di i deve essere uguale a 1
$+4a^3b-4ab^3=1$
$4ab(a^2-b^2)=1$
Se questo ragionamento va bene proseguo
Se ho preso un granchio avvertitemi!
$z^4=i$
$(a+ib)^4=i$
$(a^4+4a^3ib+6a^2i^2b^2+4ai^3b^3+b^4)=i$
$a^4+b^4-6a^2b^2 +b^4+4a^3bi-4ab^3i=i$
a questo punto per trovare i due numeri a e b devo imporre le seguneti condizioni:
la parte reale si annulla
$a^4+b^4-6a^2b^2=0$
mentre il coefficiente di i deve essere uguale a 1
$+4a^3b-4ab^3=1$
$4ab(a^2-b^2)=1$
Se questo ragionamento va bene proseguo
Se ho preso un granchio avvertitemi!
@gio73: C'è un modo molto più rapido di ricavare le radici di un numero complesso usando la rappresentazione in forma esponenziale/trigonometrica.
Grazie gugo, in effetti mi sentivo male a cercare le soluzioni solo della radice quarta...
Le due radici quadrate le avevo già trovate in un esercizio di un po' di tempo fa, ma non erano particolarmente impegnative
Le due radici quadrate le avevo già trovate in un esercizio di un po' di tempo fa, ma non erano particolarmente impegnative
Io ci avevo ragionato sulla forma esponenziale. Correggetemi se sbaglio ma se le 2 radici m-esime di z sono coniugate non vuol dire che nella forma esponenziale del tipo z=ζe^(i*alfa) una ha alfa con segno positivo e l'altra ha alfa con segno negativo? quindi nella formula derivata da DE MOIVRE per le radici m-esime (perdonatemi ma non so scrivere le formule nel sito e credo che cosi si capisca comunque comunque l'esponente dovrebbe essere qualcosa del tipo i(beta + 2k pi greco), tutta la parte che sta all'esponente della "e" delle 2 radici coniugate dovrebbe essere l'una l'opposto dell'altra e quindi, essendo che bisogna dimostrare che il numero reale basterà dimostrare, mettendo in relazione in qualche modo quanto detto, che alfa è uguale a zero.....credo.......
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