Numero complesso
(per vedere per intero l immagine cliccare su essa)
Per molti sarà facile, ma io ho parecchie difficoltà XD
il 2° punto non so nemmeno come iniziare.
il 3° saprei come svolgerlo sfruttando la forma trigonometrica calcolando la radice cubica della frazione a destra dell'equazione.
il fatto è che essendo un frazione ho difficoltà a calcolare l'angolo della formula z=p(cos a + i sen a)
grazie in anticipo
Risposte
Perché non sai nemmeno da dove incominciare (mi riferisco al punto 2)?
Intanto \[\displaystyle z = 64 \cdot \frac{i-1}{1+i}= 64 \cdot \frac{i-1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=64i \]
Poi si ha che \[\displaystyle w=i^{120}+1=i^{0} + 1=2 \qquad (\mbox{infatti} \quad 120 \equiv 0 \ (\mbox{mod} 4) \ ) \]
(e scommetto che ti intimoriva quell' \(\displaystyle i^{120} \) ).
Direi che ora l'esercizio è decisamente più semplice.
Intanto \[\displaystyle z = 64 \cdot \frac{i-1}{1+i}= 64 \cdot \frac{i-1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=64i \]
Poi si ha che \[\displaystyle w=i^{120}+1=i^{0} + 1=2 \qquad (\mbox{infatti} \quad 120 \equiv 0 \ (\mbox{mod} 4) \ ) \]
(e scommetto che ti intimoriva quell' \(\displaystyle i^{120} \) ).
Direi che ora l'esercizio è decisamente più semplice.
Vediamo se ho capito: se $i^2=-1$ allora $i^4=i^2*i^2=-1*(-1)=1$ di conseguenza se i è elevato ad un esponente multiplo di 4 il suo valore è 1?
"gio73":
Vediamo se ho capito: se $i^2=-1$ allora $i^4=i^2*i^2=-1*(-1)=1$ di conseguenza se i è elevato ad un esponente multiplo di 4 il suo valore è 1?
Sì. In particolare le potenze dell'unità immaginaria assumono gli stessi valori in maniera ciclica. Infatti \[\displaystyle i^{0}=1 \] \[\displaystyle i^1 = i \] \[\displaystyle i^2 = -1 \] \[\displaystyle i^3 = i \cdot i^2 = i \cdot (-1)=-i \] \[\displaystyle i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) =1 \]
e via dicendo...
Se ne può cavare una "formula interessante" (la prova si può fare per induzione sull'esponente). Sia \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \); allora \[\displaystyle i^{n}=\begin{cases} 1 & \mbox{se} \quad n \equiv 0 \ (\mbox{mod} \ 4) \\ i & \mbox{se} \quad n \equiv 1 \ (\mbox{mod} \ 4) \\ -1 & \mbox{se} \quad n \equiv 2 \ (\mbox{mod} \ 4) \\ -i & \mbox{se} \quad n \equiv 3 \ (\mbox{mod} \ 4) \end{cases} \]
"Delirium":
Intanto \[\displaystyle z = 64 \cdot \frac{i-1}{1+i}= 64 \cdot \frac{i-1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=64i \]
a me non da come a te
data la formula:
io faccio: \[\displaystyle z = \frac{-64+64i}{1+i} \cdot \frac{i-1}{1-i} = \frac{-64-64+(64-64)i}{1+1}= \frac{-128+0i}{2} = -64 \]
sbaglio qualcosa?
$(i - 1)( 1 - i ) = - ( i - 1 )^2 = - (-1 - 2 i + 1) = + 2 i$
Quindi il tuo numero complesso è $64 * (2i)/2 = 64 i$.
Quindi il tuo numero complesso è $64 * (2i)/2 = 64 i$.
"Seneca":
$(i - 1)( 1 - i ) = - ( i - 1 )^2 = - (-1 - 2 i + 1) = + 2 i$
Quindi il tuo numero complesso è $64 * (2i)/2 = 64 i$.
Scusami ma non mi tornano i conti.
io conosco questa formula: \[\displaystyle z = 64 \cdot \frac{a + ib}{c + id}= \frac{a + ib}{c + id} \cdot \frac{c - id}{c - id}= \frac{ac + bd + i(cb - ad)}{c^2 + d^2} \]
per cui ottengo: $(i - 1)( 1 - i ) = (-1 + i)( 1 - i ) = (-1 - 1 + i(1 - 1)) = -2+(0)i$
a me si azzera sempre la parte immaginaria. dove sbaglio?
"Perito97":
[quote="Delirium"]
Intanto \[\displaystyle z = 64 \cdot \frac{i-1}{1+i}= 64 \cdot \frac{i-1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}=64i \]
a me non da come a te
data la formula:
io faccio: \[\displaystyle z = \frac{-64+64i}{1+i} \cdot \frac{i-1}{1-i} = \frac{-64-64+(64-64)i}{1+1}= \frac{-128+0i}{2} = -64 \]
sbaglio qualcosa?[/quote]
secondo me sì, allora tu hai una frazione se la moltiplichi per un'altra frazione che ha numeratore e denominatore uguali è come se la moltiplicassi per 1 e non dovrebbe cambiare niente (alle medie si parla di proprietà invariantiva)
Anche se nella frazione ci sono i numeri complessi credo che la proprietà valga lo stesso dunque moltiplichi per $(1-i)/(1-i)$ visto che così ti semplifichi la vita senza far ricorso a formule complicate
Se la vuoi vedere in questo modo, allora:
$a = -1$
$b = 1$
$c = 1$
$d = 1$
Quindi: $c b - a d = 1 - ( - 1 ) = 2$ mentre $ ac + bd = 0$.
P.S.: sconsiglio anche io di usare queste formulacce.
$a = -1$
$b = 1$
$c = 1$
$d = 1$
Quindi: $c b - a d = 1 - ( - 1 ) = 2$ mentre $ ac + bd = 0$.
P.S.: sconsiglio anche io di usare queste formulacce.
ok perfetto grazie!
solo una cosa: appurato che ottengo 64i, come calcolo la sua radice cubica?
solo una cosa: appurato che ottengo 64i, come calcolo la sua radice cubica?
"Seneca":
sconsiglio anche io di usare queste formulacce.
La mia politica nello studio della matematica è la seguente: meno formule conosco meglio è.
Prima devo capire che cosa sto scrivendo, come se fosse una frase in italiano, e se ho capito non faccio fatica a ricordare.
Ad applicare delle formule al buio preferisco non applicarle affatto.
Scrivi l'equazione $w^3 = 64 i$. Ponendo allora $w = (rho e^(i theta) )^3 = rho^3 e^(3 i theta)$, e scrivendo $64 i$ usando la forma esponenziale, trovi...
non ho capito.
p ed e che cosa sono?
p ed e che cosa sono?
Un numero complesso $z$ si può sempre, in linea di principio, scrivere in questa forma $z = rho e^(i theta)$. $rho$ è il modulo del numero complesso, mentre $theta = Arg(z) \in (-pi , pi]$
Mi intrometto per vedere se ho capito:
I numeri complessi sono fatti da una parte reale e una immaginaria, si possono rappresentare come punti su un piano le cui cordinate sono la parte reale, che si trova sull'asse orizzontale, e la parte immaginaria che si trova sull'asse verticale.
A ciascun punto (numero complesso) si può associare una grandezza che è la distanza dall'origine, viene chiamata norma o modulo e se il numero complesso è scritto nella forma $a+ib$, dove a è la parte reale e ib la parte immaginaria, si trova col teorema di pitagora $sqrt(a^2+b^2)$, evidentemente esistono infiniti numeri complessi che hanno la stessa norma e si trovano su circonferenze che hanno centro nell'origine e raggio uguale alla norma.
Un altro modo per individuare un punto sul piano, e dunque un numero complesso, è quello di considerare la semiretta orizzontale uscente dall'origine come polo. Vale a dire considerato un punto (numero complesso) nel piano lo posso individuare in maniera univoca tracciando il segmento che unisce quel punto con l'origine del polo: ottengo così la lunghezza del segmento (modulo $rho$) e l'angolo (argomento $theta$) che quel segmento forma con il polo.
Ci sono fino qui?
I numeri complessi sono fatti da una parte reale e una immaginaria, si possono rappresentare come punti su un piano le cui cordinate sono la parte reale, che si trova sull'asse orizzontale, e la parte immaginaria che si trova sull'asse verticale.
A ciascun punto (numero complesso) si può associare una grandezza che è la distanza dall'origine, viene chiamata norma o modulo e se il numero complesso è scritto nella forma $a+ib$, dove a è la parte reale e ib la parte immaginaria, si trova col teorema di pitagora $sqrt(a^2+b^2)$, evidentemente esistono infiniti numeri complessi che hanno la stessa norma e si trovano su circonferenze che hanno centro nell'origine e raggio uguale alla norma.
Un altro modo per individuare un punto sul piano, e dunque un numero complesso, è quello di considerare la semiretta orizzontale uscente dall'origine come polo. Vale a dire considerato un punto (numero complesso) nel piano lo posso individuare in maniera univoca tracciando il segmento che unisce quel punto con l'origine del polo: ottengo così la lunghezza del segmento (modulo $rho$) e l'angolo (argomento $theta$) che quel segmento forma con il polo.
Ci sono fino qui?
Ai fini della comprensione "intuitiva" dei numeri complessi ritengo la tua esposizione molto valida, gio73.
grazie delirium,
se non ho detto stupidaggini allora proseguo
resta da determinare come passare da una rappresentazione all'altra:
se conosco la norma $rho$ e l'angolo $theta$
posso trovare la parte immaginaria facendo $rho sen(theta)=ib$,
mentre la parte reale la ottengo $rho cos(theta)=a$
sempre corretto?
se non ho detto stupidaggini allora proseguo
resta da determinare come passare da una rappresentazione all'altra:
se conosco la norma $rho$ e l'angolo $theta$
posso trovare la parte immaginaria facendo $rho sen(theta)=ib$,
mentre la parte reale la ottengo $rho cos(theta)=a$
sempre corretto?
Sì. Quanto dici discende da semplici constatazioni trigonometriche.
Coordinate polari e coordinate cartesiane sono sistemi molto usati anche nella modellizzazione fisica.
Coordinate polari e coordinate cartesiane sono sistemi molto usati anche nella modellizzazione fisica.
Vediamo infine, sempre con semplici constatazioni, come si passa dalla forma $a+ib$ alla forma trigonometrica:
come trovare $rho=sqrt(a^2+b^2)$, mentre per trovare $theta=arctg(b/a)$
sempre bene?
come trovare $rho=sqrt(a^2+b^2)$, mentre per trovare $theta=arctg(b/a)$
sempre bene?
"gio73":
Vediamo infine, sempre con semplici constatazioni, come si passa dalla forma $a+ib$ alla forma trigonometrica:
come trovare $rho=sqrt(a^2+b^2)$, mentre per trovare $theta=arctg(b/a)$
sempre bene?
Non esattamente. La funzione arcotangente è a valori in $(-pi/2 , pi/2)$... Cosa c'è che non funziona secondo te?
valori infiniti,
grazie dell'osservazione Seneca,
allora forse mi conviene fare $theta=arcsin( b/(sqrt(a^2+b^2)))$ o $theta=arccos(a/(sqrt(a^2+b^2)))$
Sbaglio o i numeri complessi che hanno come angolo (argomento) $pi/2$ o $-pi/2$ si trovano sull'asse verticale, cioè quello immaginario, e di conseguenza manca loro la parte reale $a$, ed infatti con $a=0$ il rapporto $b/a=oo$?
grazie dell'osservazione Seneca,
allora forse mi conviene fare $theta=arcsin( b/(sqrt(a^2+b^2)))$ o $theta=arccos(a/(sqrt(a^2+b^2)))$
Sbaglio o i numeri complessi che hanno come angolo (argomento) $pi/2$ o $-pi/2$ si trovano sull'asse verticale, cioè quello immaginario, e di conseguenza manca loro la parte reale $a$, ed infatti con $a=0$ il rapporto $b/a=oo$?
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