Numero complesso

[Roxy981]

Salve ragazzi, ho un problema non ho la più pallida idea di come trovare a quale numero equivale questo $((1+sqrt(3i))/(1-sqrt(3i)))^10$

[killing_buddha]

Scrivi il numero $z$ nella forma $re^{i\alpha}$ per certi $r\in [0,\infty)$ e $\alpha\in [0,2\pi)$. Dopo, $z^{10} = r^{10}e^{10\alpha i } = r^10(\cos(10\alpha)+\sin(10\alpha))$.

[Roxy981]

"killing_buddha":Scrivi il numero $z$ nella forma $re^{i\alpha}$ per certi $r\in [0,\infty)$ e $\alpha\in [0,2\pi)$. Dopo, $z^{10} = r^{10}e^{10\alpha i } = r^10(\cos(10\alpha)+\sin(10\alpha))$.

Grazie per la risposta. ma questi esercizi li trovo in esame e non so posso calcolarmi l'$arctan x$

[Roxy981]

Inoltre le risposte sono comunque in forma algebrica

[Roxy981]

Ho notato che effetivamente posso considerare z come il numeratore e a denominatore il coniugato c'è qualche relazione?

[killing_buddha]

Hai notato una cosa falsa.

[Roxy981]

ahah ma come comunque non so come ma equivale a $(-1+sqrt(3i))/2$

[killing_buddha]

"Roxy98":ahah ma come comunque non so come ma equivale a $(-1+sqrt(3i))/2$

No, è sbagliato: se sottrai questo numero da quello all'inizio ti viene una cosa diversa da zero.
Una maniera intelligente di operare è

1. Scrivere $\sqrt{i}=a+ib$
2. Scrivere, quindi, il tuo numero come \(\frac{1+\sqrt{3}(a+ib)}{1-\sqrt{3}(a+ib)}\)
3. Ricordare che \(w^{-1}=\frac{\bar w}{|w|^2}\), per ogni numero complesso $w$.

Da qui andare avanti, come ti suggerisce la fantasia.

[Roxy981]

"killing_buddha":[quote="Roxy98"]ahah ma come comunque non so come ma equivale a $(-1+sqrt(3i))/2$

No, è sbagliato: se sottrai questo numero da quello all'inizio ti viene una cosa diversa da zero.
Una maniera intelligente di operare è

1. Scrivere $\sqrt{i}=a+ib$
2. Scrivere, quindi, il tuo numero come \(\frac{1+\sqrt{3}(a+ib)}{1-\sqrt{3}(a+ib)}\)
3. Ricordare che \(w^{-1}=\frac{\bar w}{|w|^2}\), per ogni numero complesso $w$.

Da qui andare avanti, come ti suggerisce la fantasia.[/quote]
Aspetta qui la cosa mi sembra davvero strana,forse non ho afferrato chiaramente i complessi
$z=a+ib$ a denominatore o lo stesso numero con parte immaginaria negativa quindi non è z (con)?
Inoltre il risultato dell'esercizio è proprio $(-1+sqrt(3)i)/2$

[axpgn]

Presumendo che tu intenda $z=(1+sqrt(3)i)/(1-sqrt(3)i)$ e debba calcolarti $z^10$, prima razionalizza moltiplicando "sopra e sotto" per il coniugato del denominatore così $((1+sqrt(3)i)(1+sqrt(3)i))/((1-sqrt(3)i)(1+sqrt(3)i))=(-2+2sqrt(3)i)/4=(-1+sqrt(3)i)/2$
A questo punto trovi modulo e argomento di $z$ quindi $|z|=sqrt((-1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=1$ e dato che $sin(theta)=sqrt(3)/2$ e $cos(theta)=-1/2$ ne consegue che $theta=2/3pi$ (alias $120°$, angolo da conoscere)

Quindi applichi la formula per il calcolo delle potenze dei numeri complessi cioè se $w=z^10$ allora $|w|=|z|^10=1$ e $\text(arg)(w)= 10*2/3pi=2/3pi$

Con modulo e argomento puoi calcolarti la forma algebrica (che guarda caso ti dà $w=z$)