Numero Complesso

[vito.x.file]

Ciao a tutti raga, ho trovato questo esercizio, l'ho risolto ma vorrei sapere se è corretto oppure errato.
Determinare se esistono $z in CC$ soluzioni dell'equazione $Re(2/(z-i))=i(|z-2i|-1)$

Risolvo: $Re(2/(x+i(y-1)))=i(|x+i(y-2)|-1)$
$Re(2/(x+i(y-1)))=i(sqrt(x^2-y^2-4y+4)-1)$
Divido la parte reale e la parte immaginaria
$2/x=sqrt(x^2-y^2-4y+4)-1$
$\{(x=0),((sqrt(x^2-y^2-4y+4)-1)=0):}$
$\{(x=0),(x^2-y^2-4y+4-2x^2+2y^2+8y-8+1=0):}$
$\{(x=0),(y^2+4y-3=0):}$
$y_1=-2-sqrt(7)$
$y_2=-2+sqrt(7)$
Le soluzioni sono
$z_1=(-2-sqrt(7))i$
$z_2=(-2+sqrt(7))i$
Cosa ne pensate?

[pilloeffe]

Ciao vito.x.file,

Penso che sia errato...

[vito.x.file]

"pilloeffe":Ciao vito.x.file,

Penso che sia errato...

E come dovrei risolverlo? è sbagliato considerare $2/x$ come parte reale?

[marco.ve1]

$$ \frac{2}{x+i(y-1)} = \frac{2(x-i(y-1))}{x^2 +(y-1)^2} = \frac{2x}{x^2 +(y-1)^2} + i \cdot \frac{1-y}{x^2 +(y-1)^2}$$ quindi

$Re(\frac{2}{x+i(y-1)}) = \frac{2x}{x^2 +(y-1)^2}$

[vito.x.file]

"marco.ve":$$ \frac{2}{x+i(y-1)} = \frac{2(x-i(y-1))}{x^2 +(y-1)^2} = \frac{2x}{x^2 +(y-1)^2} + i \cdot \frac{1-y}{x^2 +(y-1)^2}$$ quindi

$Re(\frac{2}{x+i(y-1)}) = \frac{2x}{x^2 +(y-1)^2}$

Posso chiedere il motivo per il quale si applica la razionalizzazione? Perchè non potrei mai prendere $2/x$ e lasciare indifferente $i(y-1)$?

[marco.ve1]

Semplicemente perchè questa è la definizione di parte reale, dato un numero complesso z scritto in forma algebrica x + i*y (dove x e y sono reali) Re(x + i*y) = x.

[vito.x.file]

"marco.ve":Semplicemente perchè questa è la definizione di parte reale, dato un numero complesso z scritto in forma algebrica x + i*y (dove x e y sono reali) Re(x + i*y) = x.

ok, mentre per quanto riguarda la risoluzione a destra dell'uguale? è corretto giungere a $i(sqrt(x^2-y^2+4y-4)-1)$?

Fermo restando che la risoluzione adesso è corretta, come si continua l'esercizio?

[marco.ve1]

è corretto tranne il segno di [tex]-y^2 +4y -4[/tex], infatti [tex]|x + i(y-2)| = \sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} = \sqrt{x^2 + y^2 -4y +4}[/tex]

Si ottiene $$\frac{2x}{x^2 +(y-1)^2} = i( \sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1) $$ ovvero $$ 2x - i(\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0$$
e poichè un numero complesso è nullo se e solo se lo sono la sua parte reale e immaginaria si deve avere: [tex]2x = 0[/tex] e [tex](\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0[/tex].
Dalla prima segue [tex]x = 0[/tex] e sostituendo nella seconda (ricordando che [tex]y \ne 1[/tex] altrimenti [tex]z = i[/tex]) si trova [tex](\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0 \iff \sqrt{(y-2)^2} - 1 = 0[/tex], cioè
[tex]y = 3[/tex], da cui [tex]z = 3i[/tex] è l'unica soluzione.

[tex][/tex]

[vito.x.file]

"marco.ve":è corretto tranne il segno di [tex]-y^2 +4y -4[/tex], infatti [tex]|x + i(y-2)| = \sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} = \sqrt{x^2 + y^2 -4y +4}[/tex]

Si ottiene $$\frac{2x}{x^2 +(y-1)^2} = i( \sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1) $$ ovvero $$ 2x - i(\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0$$
e poichè un numero complesso è nullo se e solo se lo sono la sua parte reale e immaginaria si deve avere: [tex]2x = 0[/tex] e [tex](\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0[/tex].
Dalla prima segue [tex]x = 0[/tex] e sostituendo nella seconda (ricordando che [tex]y \ne 1[/tex] altrimenti [tex]z = i[/tex]) si trova [tex](\sqrt{(x^2 + (y-2)^2)} - 1)(x^2 +(y-1)^2) = 0 \iff \sqrt{(y-2)^2} - 1 = 0[/tex], cioè
[tex]y = 3[/tex], da cui [tex]z = 3i[/tex] è l'unica soluzione.

[tex][/tex]

Ti ringrazio per l'accuratezza con cui hai risposto,ti chiedo solo, perchè escludere $z=i$ io la metterei come soluzione accanto a $z=3i$