Numero complesso

[Struts]

Save a tutti,
mi cimentavo risolvere questo numero complesso ma non mi ritrovo con le soluzioni
l'esercizio è:$z^8$$=$$i$$\overline{z}$$|z|$
se moltiplico tutto per $z$ ho $z^9$$=$$i$$|z|^3$ ma poi mi blocco e non so più come procedere

[Gi81]

Beh, dato che $|z| in RR$, hai che $Re(z^9)=0$

[Camillo]

Puoi usare la forma esponenziale dei numeri complessi per cui $z = rho e^(i theta) ; |z|=rho ; z^(*) = rho e^(-i theta ) $ essendo $z^(*) $ il coniugato di $z $.

[Struts]

Come mai la $Re(z^9)$ $=$ $0$?

[Gi81]

Perchè $z^9$ deve essere uguale al numero complesso $i |z|^3$,
e la parte reale di $i |z|^3$ è $0$ ( mentre la parte immaginaria è $|z|^3$).

[21zuclo]

io userei più semplicemente il suggerimento di Camillo, riscrivo tutto in forma esponenziale

$z^8 =\rho^8 e^{i(8\theta)}$

$i=e^{i(\pi/2)}$

$\bar{z}= \rho e^{i(-\theta)}$

$|z|=\rho$

mettendo insieme $\rho^8 \exp(i(8\theta))=\exp(i(\pi/2))\cdot \rho\exp(i(-\theta))\cdot \rho$

$\rho^8 \exp(i(8\theta))=\rho^2 \exp(i(\pi/2-\theta)) \to ...$

[Struts]

Si è vero passando all'esponenziale è molto semplice determino $\theta$$=$$10$ e poi due valori di $\rho$ che sono $0$ e $1$
poi però non capisco quali radici devo determinare radici seste?

[21zuclo]

"Struts":Si è vero passando all'esponenziale è molto semplice determino $\theta$$=$$10$ e poi due valori di $\rho$ che sono $0$ e $1$
poi però non capisco quali radici devo determinare radici seste?

non capisco come hai fatto trovare $\theta =10$

si fa così
${(\rho^8=\rho^2),(8\theta=\pi/2-\theta +2k\pi):}\to {(\rho^2(\rho^6-1)=0),(\theta=(\pi/2+2k\pi)/(9)):}\to$

per $\rho^2=0\to \rho=0$ si ha $z_0=0$

mentre per $\rho^6=1\to \rho=1 $ si ha ${(\rho=1),(\theta=(\pi/2+2k\pi)/(9)):}$ con $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8$

[Struts]

Bhè io avevo considerato $\pi/2$ $*$$1/9$ ecco perche $theta$$=$$10$.Comunque ora tutto è molto più chiaro
Grzie 21zuclo