Numero complessi, forma trigonometrica
Buonasera, ho provato a svolgere questo esercizio sui numeri complessi ma ho qualche dubbio circa la sua correttezza. Potreste darci un'occhiata ? Grazie.
Trovare il risultato di $ Z= Z^18 / Z^15 $ Dove lo Z del numeratore è uguale a $ sqrt (3) + i $ e lo Z del denominatore è uguale a $ 1 - sqrt(3)i $.
Ho svolto in questo modo
$ (sqrt (3) + i) / (1 - sqrt(3)i) * (1 + sqrt(3)i) / (1 + sqrt(3)i)$ Facendo i vari calcoli mi trovo con $ (10i) / 10 $ quindi uguale a $ i^18 $ che equivale a $ (i^4)^4 * i^2 $
Ora visto che $i^4$ è uguale a $ 1 $ avrei alla fine $1^4 * i^2$ quindi il risultato è $i^2$ è corretto ?
Se è tutto corretto, come posso calcolare la forma trigonometrica ?
Essendo $Z=i^2$, poiché "i^2 = -1$ il modulo è uguale a 1 ma l'argomento ?
Trovare il risultato di $ Z= Z^18 / Z^15 $ Dove lo Z del numeratore è uguale a $ sqrt (3) + i $ e lo Z del denominatore è uguale a $ 1 - sqrt(3)i $.
Ho svolto in questo modo
$ (sqrt (3) + i) / (1 - sqrt(3)i) * (1 + sqrt(3)i) / (1 + sqrt(3)i)$ Facendo i vari calcoli mi trovo con $ (10i) / 10 $ quindi uguale a $ i^18 $ che equivale a $ (i^4)^4 * i^2 $
Ora visto che $i^4$ è uguale a $ 1 $ avrei alla fine $1^4 * i^2$ quindi il risultato è $i^2$ è corretto ?
Se è tutto corretto, come posso calcolare la forma trigonometrica ?
Essendo $Z=i^2$, poiché "i^2 = -1$ il modulo è uguale a 1 ma l'argomento ?
Risposte
Non ho guardato i tuoi conti ; se il risultato fosse $Z=i^2 =-1 $ allora il modulo è $1 $ e l'argomento è $pi $ .OK ?
Ok, la forma trigonometrica è uguale a
$ Z = 1(cos π + isenπ) $
è corretto ? Grazie per l'aiuto
$ Z = 1(cos π + isenπ) $
è corretto ? Grazie per l'aiuto
Ciao Quasar3.14,
Innanzitutto un consiglio: scrivi il problema facendo uso di simboli diversi, se no ti confondi le idee da solo...
Se ho capito bene, devi determinare il numero complesso seguente:
$z = frac{u^18}{w^15}$
ove $u := sqrt{3} + i$ e $w := 1 - i sqrt{3}$. Ora, per semplificare un po' le cose, io farei così:
$z = frac{u^18}{w^15} = frac{u^18}{w^18} w^3 = (frac{u}{w})^18 w^3$
Concentriamoci per il momento sul termine elevato alla $18$; si ha:
$(frac{u}{w})^18 = (frac{u \bar w}{w \bar w})^18 = (frac{(sqrt{3} + i)(1 + i sqrt{3})}{4})^18 = (frac{4i}{4})^18 = i^18 = - 1$
D'altronde non è difficile scoprire che si ha $w^3 = (1 - i sqrt{3})^3 = - 8$, per cui in definitiva si ha:
$z = frac{u^18}{w^15} = frac{(sqrt{3} + i)^18}{(1 - i sqrt{3})^15} = 8$
che è un numero reale positivo: visto come numero complesso ha modulo $8$ ed argomento $0$.
Innanzitutto un consiglio: scrivi il problema facendo uso di simboli diversi, se no ti confondi le idee da solo...
Se ho capito bene, devi determinare il numero complesso seguente:
$z = frac{u^18}{w^15}$
ove $u := sqrt{3} + i$ e $w := 1 - i sqrt{3}$. Ora, per semplificare un po' le cose, io farei così:
$z = frac{u^18}{w^15} = frac{u^18}{w^18} w^3 = (frac{u}{w})^18 w^3$
Concentriamoci per il momento sul termine elevato alla $18$; si ha:
$(frac{u}{w})^18 = (frac{u \bar w}{w \bar w})^18 = (frac{(sqrt{3} + i)(1 + i sqrt{3})}{4})^18 = (frac{4i}{4})^18 = i^18 = - 1$
D'altronde non è difficile scoprire che si ha $w^3 = (1 - i sqrt{3})^3 = - 8$, per cui in definitiva si ha:
$z = frac{u^18}{w^15} = frac{(sqrt{3} + i)^18}{(1 - i sqrt{3})^15} = 8$
che è un numero reale positivo: visto come numero complesso ha modulo $8$ ed argomento $0$.
Grazie pilloeffe non avevo proprio pensato al tuo approccio. Mi è tutto chiaro
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