Numero 3 esercizi su calcolo volumi e superfici , correzione.
Posto alcuni es di cui non sono sicuro ...
(1)
Sia V il solido definito da :
$ V=[(x,y,z)inR^3:x^2+z^2<=2;0<=y<=5-2x] $
Si calcoli il volume di V e l'area della sua superficie .
Dunque per il volume ho visto che è un solido di rotazione attorno all'asse y , quindi
ho usato la formula :
$ V=2piint_0^(sqrt2)x(5-2x)dx=2pi[5-4/3sqrt2] $
che dovrebbe essere giusto..
però per il calcolo dell'area?
mi chiedevo...posso considerare la superficie descritta da dalla funzione $ y=5-2x $
su un dominio normale ad xz tale che :
$ x^2 + z^2<=2 $ ?
cioè invece di considerare una f(x,y) = z
considero una f(x,z)=y
? è lecito o sto inventando a gogo?
altrimenti potrei dire che
$ f(x,y) = z = sqrt(2-x^2) $
però non riesco ad individuare l'insieme in cui si proietta, cioè quello dove variano x e y ...
come posso fare?
(2)-(3)
questi due sono similissimi ...
Sia T la regione di piano compresa tra il grafico della funzione $ y=2senx $
e l'asse x .
Mi si chiede di calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ( nell'es 2)
facendo ruotare la funzione intorno all'asse x , con $ x in[0,pi] $
e nell'es 3 facendolo ruotare intorno all'asse y , con $ x in[pi/2,pi] $
Dunque io ho svolto così...
(2) $ V=piint_(0)^(pi)4sen^2xdx=2pi^2 $
(3) $ V=2piint_(pi/2)^(pi)2xsenxdx=4pi(pi-1) $
Sono giusto? questi due mi sono sembrati troppo facile..forse ho abusato delle formule..
quello che mi urge di più è il primo...
Arigatou Gosarimasu
(1)
Sia V il solido definito da :
$ V=[(x,y,z)inR^3:x^2+z^2<=2;0<=y<=5-2x] $
Si calcoli il volume di V e l'area della sua superficie .
Dunque per il volume ho visto che è un solido di rotazione attorno all'asse y , quindi
ho usato la formula :
$ V=2piint_0^(sqrt2)x(5-2x)dx=2pi[5-4/3sqrt2] $
che dovrebbe essere giusto..
però per il calcolo dell'area?
mi chiedevo...posso considerare la superficie descritta da dalla funzione $ y=5-2x $
su un dominio normale ad xz tale che :
$ x^2 + z^2<=2 $ ?
cioè invece di considerare una f(x,y) = z
considero una f(x,z)=y
? è lecito o sto inventando a gogo?
altrimenti potrei dire che
$ f(x,y) = z = sqrt(2-x^2) $
però non riesco ad individuare l'insieme in cui si proietta, cioè quello dove variano x e y ...
come posso fare?
(2)-(3)
questi due sono similissimi ...
Sia T la regione di piano compresa tra il grafico della funzione $ y=2senx $
e l'asse x .
Mi si chiede di calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ( nell'es 2)
facendo ruotare la funzione intorno all'asse x , con $ x in[0,pi] $
e nell'es 3 facendolo ruotare intorno all'asse y , con $ x in[pi/2,pi] $
Dunque io ho svolto così...
(2) $ V=piint_(0)^(pi)4sen^2xdx=2pi^2 $
(3) $ V=2piint_(pi/2)^(pi)2xsenxdx=4pi(pi-1) $
Sono giusto? questi due mi sono sembrati troppo facile..forse ho abusato delle formule..
quello che mi urge di più è il primo...
Arigatou Gosarimasu
Risposte
Una domanda perché ho un dubbio: ma tu stai facendo Analisi 1 o Analisi 2? In soldoni: integrazione in una o in più variabili?
analisi 2 xD integrazione in più variabili
Allora:
1) sbagli a dire che quello che hai è un solido di rotazione: il problema è dato dal piano $y=5-2x$ che fa perdere la simmetria necessaria. Quello che hai è un cilindro con una base poggiata sul piano $y=0$, mentre l'altra si trova sul piano, obliquo, precedente. Ti consiglio, al fine di calcolare il volume, di usare le seguenti coordinate cilindriche:
$$x=\rho\cos\theta,\ z=\rho\sin\theta,\ y=y$$
e vedere cosa viene fuori calcolando l'integrale triplo sul dominio dato della funzione $1$.
Per la superficie laterale, puoi parametrizzare il dominio precedente tenendo conto che $\rho=\sqrt{2}$ lungo il bordo laterale, mentre $y=5-2\rho\costheta$ quando sei sulla faccia superiore (l'area di quella inferiore, essendo un cerchio, è di rapido calcolo).
2-3) Il due è corretto. Per il 3), la formula giusta è la seguente
$$V=\pi\int_a^b x^2 f'(x)\ dx,\qquad x\in[a,b]$$
1) sbagli a dire che quello che hai è un solido di rotazione: il problema è dato dal piano $y=5-2x$ che fa perdere la simmetria necessaria. Quello che hai è un cilindro con una base poggiata sul piano $y=0$, mentre l'altra si trova sul piano, obliquo, precedente. Ti consiglio, al fine di calcolare il volume, di usare le seguenti coordinate cilindriche:
$$x=\rho\cos\theta,\ z=\rho\sin\theta,\ y=y$$
e vedere cosa viene fuori calcolando l'integrale triplo sul dominio dato della funzione $1$.
Per la superficie laterale, puoi parametrizzare il dominio precedente tenendo conto che $\rho=\sqrt{2}$ lungo il bordo laterale, mentre $y=5-2\rho\costheta$ quando sei sulla faccia superiore (l'area di quella inferiore, essendo un cerchio, è di rapido calcolo).
2-3) Il due è corretto. Per il 3), la formula giusta è la seguente
$$V=\pi\int_a^b x^2 f'(x)\ dx,\qquad x\in[a,b]$$
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