Numeri Reali e assioma della completezza

[gurghet]

Nel mio Apostol come preambolo all'assioma della completezza c'è scritto che l'insieme $S={x|0\leq x <1}$ non ha massimo. Chi me lo dimostra in qualche modo?
Forse la domanda è mal posta, non lo so, il fatto è che a me sembra quasi di vederlo il massimo, insomma è subito a sinistra dell'uno. Ad ogni modo non vedo cosa c'entri questo con l'assioma di dedekind.

[dissonance]

Supponiamo che $M$ sia il massimo del tuo insieme $S$. Allora $M\inS$, quindi $M<1$. Tra $M$ e $1$, però, ci sono altri numeri: ad esempio $(M+1)/2$ è strettamente compreso tra $M$ e $1$. Quindi $(M+1)/2$ appartiene ad $S$ ed è strettamente più grande del suo massimo: contraddizione.

[gurghet]

grazie mille mi si sono spalancati i cancelli dell'analisi