Numeri reali

[matteo161]

ciao a tutti ragazzi sono nuovo e sono autodidatta in matematica e fisica

non riesco a capire il concetto di successione stabilizzata e poi l'applicazione di questa per la definizione di somma e prodotto di numeri reali
me la potreste spiegare magari con qualche esempio?
grazie anticipatamente per le risposte

[Luca.Lussardi]

Che intendi per successione stabilizzata?

[matteo161]

"Luca.Lussardi":Che intendi per successione stabilizzata?

quando esiste un n appartenente ad N tale che per (a)n > o = ad n risulta a(n)=c cioè costante
c'era anche un altro termine equivalente ma non e lo ricordo
si dimostrava che una successione non decrescente e limitata superiormente è stabilizzata

[digi88]

Ciao, se non ho capito male tu chiami successione stabilizzata una successione definitivamente costante? Onestamente non so come applicare questo per definire le operazioni nei reali...

Usando invece le successioni di Cauchy (in $QQ$) è possibile definire non solo le operazioni in $RR$ ma costruire i reali (Costruzione dei Reali di Cantor). Se ti riferivi a questo non credo che si riesca a spiegare in due righe il tutto

[matteo161]

"digi88":Ciao, se non ho capito male tu chiami successione stabilizzata una successione definitivamente costante? Onestamente non so come applicare questo per definire le operazioni nei reali...

Usando invece le successioni di Cauchy (in $QQ$) è possibile definire non solo le operazioni in $RR$ ma costruire i reali (Costruzione dei Reali di Cantor). Se ti riferivi a questo non credo che si riesca a spiegare in due righe il tutto

si esatto successioni definitivamente costanti che però sul libro che sto studiando l'autore(è il libro di pagani e salsa) definisce anche come stabilizzate
procedeva considerando una successione di numeri reali come allineamenti decimali
da qua diceva che se questa successione (a)n è stabilizzata allora essa individua a con a numero reale
da qui definiva somma e prodotto nel modo sopracitato

[giuseppe87x]

Dire che una successione è stabilizzata non significa dire che è definitivamente costante; una succesione di numeri razionali si dice stabilizzata se individua (nel senso della costruzione dei reali di Cantor) un numero reale. I numeri reali possono essere visti come classi di equivalenza di successioni di Cauchy in $QQ$ e tutte le successioni appartenenti a tali classi di equivalenza sono stabilizzate.
Poi per definire le operazioni tra numeri reali si sfruttano le operazioni già definite in $QQ$ e si verifica che le successioni di razionali che vengono fuori sono stabilizzate.

[matteo161]

"giuseppe87x":Dire che una successione è stabilizzata non significa dire che è definitivamente costante; una succesione di numeri razionali si dice stabilizzata se individua (nel senso della costruzione dei reali di Cantor) un numero reale. I numeri reali possono essere visti come classi di equivalenza di successioni di Cauchy in $QQ$ e tutte le successioni appartenenti a tali classi di equivalenza sono stabilizzate.
Poi per definire le operazioni tra numeri reali si sfruttano le operazioni già definite in $QQ$ e si verifica che le successioni di razionali che vengono fuori sono stabilizzate.

l'autore del libro afferma che esistono diversi modi per definire un numero reale
ma le successioni di Cauchy non le ha ancora introdotte e quindi non le ho ancora studiate
il fatto è che lui definisce una successione del tipo sopracitato definitivamente cstante o stabilizzata
dopo introduce una successione di numeri reali come allineamenti decimali
definendo una successione (a)nk dove k indica la k-esima cifra decimale e n indica l'n-esimo numero reale
afferma che se la successione è stabilizzata esiste un numero reale a tale che esitsa una sua cifra decimale che sia uguale alla successione (a)nk
per n sufficientemente grande

[giuseppe87x]

Considera ${(1+1/n)^n}_(n in NN)$; e' una successione di numeri razionali stabilizzata ma non è per niente costante. In gnerale si dice che una successione di numeri razionali è stabilizzata quando esiste un numero reale $l$ tale che $AA epsilon>0$ si abbia $|a_(n)-l| Ovviamente una successione costante è (banalmente) stabilizzata.

[matteo161]

"giuseppe87x":Considera ${(1+1/n)^n}_(n in NN)$; e' una successione di numeri razionali stabilizzata ma non è per niente costante. In gnerale si dice che una successione di numeri razionali è stabilizzata quando esiste un numero reale $l$ tale che $AA epsilon>0$ si abbia $|a_(n)-l| Ovviamente una successione costante è (banalmente) stabilizzata.

quindi sono due cose separate?
perchè nel libro viene messo come termine alternativo a definitivamente costante

riguardo ad una successione non decrescente e limitata superiormente
vuol dire che esiste un $n$ appartenente ad $NN$ tale che $AAp$ ${a}_p$< o = ad n
giusto?

[matteo161]

"Sergio":[quote="matteo16"]riguardo ad una successione non decrescente e limitata superiormente
vuol dire che esiste un $n$ appartenente ad $NN$ tale che $AAp$ (a)p< o = ad n
giusto?

Mica tanto
La tua è la definizione di successione limitata superiormente.
Decrescente vuol dire che $a_n>=a_(n+1), AA n in NN$.
Non decrescente può voler dire:
a) strettamente crescente: $a_n b) né crescente né decrescente, ad esempio $a_n=(-1)^n$.
s.e.o.[/quote]
sìsì quello ok non l'ho messo
perchè avevo in mente la definizione di definitivamente costante dove l'ho letta io
e coincide con il fatto che esiste un numero entro il quale si ha una successione e per valori maggiori o uguali la successione è costante

non riesco a postarvi la definizione dell'autore perchè non ho su questo computer la dispensa ma la posterò
quindi non sono la stessa cosa
tipo mi ricordo che faceva un esempio:
a1=0.1234567...
a2=0.1123456...
a3=0.1122345...
a4=0.1122334...
e diceva che è stabilizzata e che individua il numero reale a=0.1122334455...
da qesti concetti definiva la somma e il prodotto tra numeri reali

[matteo161]

"Sergio":[quote="matteo16"]sìsì quello ok non l'ho messo
perchè avevo in mente la definizione di definitivamente costante dove l'ho letta io
e coincide con il fatto che esiste un numero entro il quale si ha una successione e per valori maggiori o uguali la successione è costante

Come ti ha già detto giuseppe87x, la successione definitivamente costante è solo un caso particolare di successione convergente.
Una successione monotòna e limitata è convergente, ma non è affatto detto che sia definitivamente costante.

"matteo16":non riesco a postarvi la definizione dell'autore perchè non ho su questo computer la dispensa ma la posterò quindi non sono la stessa cosa
tipo mi ricordo che faceva un esempio:
a1=0.1234567...
a2=0.1123456...
a3=0.1122345...
a4=0.1122334...
e diceva che è stabilizzata e che individua il numero reale a=0.1122334455...

E che si fa di $a_5=0.111222333....$?[/quote]
poi va avanti la successione

comunque ho capito
forse ho interpretato male quello che diceva il libro
comunque grazie a tutti per aver risposto

[amel3]

Spero di non creare ulteriori confusioni al mio solito, il fatto è che mi sono sentito in dovere di intervenire, visto che ho il testo in questione.

Se ${p_n}$ è una successione di numeri naturali ed esiste un intero $N$ tale che per $n>=N$ risulta $p_n=p$ (costante), diremo che la successione è definitivamente costante o stabilizzata.

Esempio. Una successione ${p_n}$ di interi, non decrescente (cioè $p_n<=p_(n+1)$, $\forall n in NN$) limitata superiormente è definitivamente costante.

Io aggiungerei interi positivi, comunque tant'è...

Fino a qui mi sembra che siamo chiari perchè nella pratica trattiamo successioni (di interi!) del tipo:
$a_0, a_1, ...,a_(k-1), a_k, a_k, a_k, a_k,a_k,....$ con $k in NN$ (anche sin da $k=0$ o $1$, qui ho fatto questo esempio solo per capirci).

Ora comincia la parte più pipicchia.

Sia ora ${a_n}$ la successione di numeri reali non negativi:

$a_1=alpha_(10), alpha_(11), alpha_(12), alpha_(13),....$
$a_1=alpha_(20), alpha_(21), alpha_(22), alpha_(23),....$
$a_1=alpha_(30), alpha_(31), alpha_(32), alpha_(33),....$
.
.
.

[...]

Definizione - Se, per ogni $k>=0$, la sequenza di interi $alpha_(nk)$ è definitivamente costante, la successione di numeri reali ${a_n}$ si dice stabilizzata.

Osserviamo che, se ${a_n}$ è stabilizzata, esiste un unico numero reale:
$a:=gamma_0,gamma_1 gamma_2 gamma_3 ...$
tale che, per ogni $k>=0$, risulti $gamma_k=alpha_(nk)$ per $n$ sufficientemente grande; scriveremo allora:
$a_n=>a$
(si legge: la successione ${a_n}$ individua $a$).

Mi sembra quindi che il problema consista nel fatto che il Pagani Salsa faccia un po' di confusione tra il concetto di "successione definitivamente costante di interi" (vabbè lui dice di naturali ma non mi pare che l'estensione agli interi sia così terribile...) e di "successione stabilizzata in $RR$". Infatti, il primo concetto viene indicato anche come "successione stabilizzata di interi", pur essendo questo concetto ben diverso dal secondo!
Il polverone dei sapienti del forum che si è giustamente sollevato , è quindi a questo punto risolvibile con queste ora banali osservazioni:

1) Una successione stabilizzata è un caso particolare di successione convergente e peraltro converge al numero reale individuato dalla successione stabilizzata. (Comunque ancora devi leggere cos'è una successione convergente, no?)

2) L'esempio del testo
$a_1=0.1234567...$
$a_2=0.1123456...$
$a_3=0.1122345...$
$a_4=0.1122334... $
ci dice che effettivamente la successione ${a_n}$ è stabilizzata.

3) L'esempio di giuseppe87x è di una successione stabilizzata visto che:
${(1+1/n)^n}={2., 2.25, 2.37037, 2.44141, 2.48832, 2.52163, 2.5465, 2.56578, 2.58117, 2.59374, 2.6042, 2.61304, 2.6206, 2.62715, 2.63288, 2.63793,$
$2.64241, 2.64643, 2.65003, 2.6533, 2.65626, 2.65897, 2.66145, 2.66373, 2.66584, 2.66778, 2.66959, 2.67128, 2.67285, 2.67432,$
$2.6757, 2.67699, 2.67821, 2.67936, 2.68044, 2.68146, 2.68244, 2.68336, 2.68423, 2.68506, 2.68586, 2.68661, 2.68733, 2.68802, $
$2.68868, 2.68931, 2.68992, 2.6905, 2.69105, 2.69159,...}$

E via andare...

Spero di non aver scritto troppe castronerie... Ciao!

P.S. : Non mi sembra molto semplice il Pagani Salsa da autodidatta...

[matteo161]

"amel":Spero di non creare ulteriori confusioni al mio solito, il fatto è che mi sono sentito in dovere di intervenire, visto che ho il testo in questione.

Se ${p_n}$ è una successione di numeri naturali ed esiste un intero $N$ tale che per $n>=N$ risulta $p_n=p$ (costante), diremo che la successione è definitivamente costante o stabilizzata.

Esempio. Una successione ${p_n}$ di interi, non decrescente (cioè $p_n<=p_(n+1)$, $\forall n in NN$) limitata superiormente è definitivamente costante.

Io aggiungerei interi positivi, comunque tant'è...

Fino a qui mi sembra che siamo chiari perchè nella pratica trattiamo successioni (di interi!) del tipo:
$a_0, a_1, ...,a_(k-1), a_k, a_k, a_k, a_k,a_k,....$ con $k in NN$ (anche sin da $k=0$ o $1$, qui ho fatto questo esempio solo per capirci).

Ora comincia la parte più pipicchia.

Sia ora ${a_n}$ la successione di numeri reali non negativi:

$a_1=alpha_(10), alpha_(11), alpha_(12), alpha_(13),....$
$a_1=alpha_(20), alpha_(21), alpha_(22), alpha_(23),....$
$a_1=alpha_(30), alpha_(31), alpha_(32), alpha_(33),....$
.
.
.

[...]

Definizione - Se, per ogni $k>=0$, la sequenza di interi $alpha_(nk)$ è definitivamente costante, la successione di numeri reali ${a_n}$ si dice stabilizzata.

Osserviamo che, se ${a_n}$ è stabilizzata, esiste un unico numero reale:
$a:=gamma_0,gamma_1 gamma_2 gamma_3 ...$
tale che, per ogni $k>=0$, risulti $gamma_k=alpha_(nk)$ per $n$ sufficientemente grande; scriveremo allora:
$a_n=>a$
(si legge: la successione ${a_n}$ individua $a$).

Mi sembra quindi che il problema consista nel fatto che il Pagani Salsa faccia un po' di confusione tra il concetto di "successione definitivamente costante di interi" (vabbè lui dice di naturali ma non mi pare che l'estensione agli interi sia così terribile...) e di "successione stabilizzata in $RR$". Infatti, il primo concetto viene indicato anche come "successione stabilizzata di interi", pur essendo questo concetto ben diverso dal secondo!
Il polverone dei sapienti del forum che si è giustamente sollevato , è quindi a questo punto risolvibile con queste ora banali osservazioni:

1) Una successione stabilizzata è un caso particolare di successione convergente e peraltro converge al numero reale individuato dalla successione stabilizzata. (Comunque ancora devi leggere cos'è una successione convergente, no?)

2) L'esempio del testo
$a_1=0.1234567...$
$a_2=0.1123456...$
$a_3=0.1122345...$
$a_4=0.1122334... $
ci dice che effettivamente la successione ${a_n}$ è stabilizzata.

3) L'esempio di giuseppe87x è di una successione stabilizzata visto che:
${(1+1/n)^n}={2., 2.25, 2.37037, 2.44141, 2.48832, 2.52163, 2.5465, 2.56578, 2.58117, 2.59374, 2.6042, 2.61304, 2.6206, 2.62715, 2.63288, 2.63793,$
$2.64241, 2.64643, 2.65003, 2.6533, 2.65626, 2.65897, 2.66145, 2.66373, 2.66584, 2.66778, 2.66959, 2.67128, 2.67285, 2.67432,$
$2.6757, 2.67699, 2.67821, 2.67936, 2.68044, 2.68146, 2.68244, 2.68336, 2.68423, 2.68506, 2.68586, 2.68661, 2.68733, 2.68802, $
$2.68868, 2.68931, 2.68992, 2.6905, 2.69105, 2.69159,...}$

E via andare...

Spero di non aver scritto troppe castronerie... Ciao!

P.S. : Non mi sembra molto semplice il Pagani Salsa da autodidatta...
bene inizio a capire di più
quindi si dice stabilizzata(nel campo dei numeri reali o meglio una successione di numeri reali) quando esiste un numero reale tale che la successione converga a quel nuemro?
e si dice che la successione individua quel numero reale?

P.S.
per il libro si è un po' difficile per alcuni aspetti ma per dove sono arrivato io la difficolta sta che è astratto cioè è difficile immaginarsi gli insiemi quoziente ecc.(per la definizione degli altri insiemi)
però siccome sono autodidatta da tre anni e le cose come funzioni derivate integrali le so un po' mi viene un po' più semplice perchè sono già nell'argomento e so che certe volte è un po' astratto
ho deciso di ristudiare dall'inizio in maniera più organizzata se no va a finire che alcuni cooncetti me li dimentico