[Numeri complessi]Equazione
Mi sono imbattuto in questa, per me, singolare equazione con numeri complessi:
$ |z|^2z^2=i $
il risultato è $ z=-sqrt(2/(2(1+i))) $ e $ z=+sqrt(2/(2(1+i))) $
ora...avevo pensato di isolare $z^2$ e poi estrarre la radice, visto che il modulo di un numero complesso è un numero reale. Ma poi mi rimarrebbe da gestire appunto il modulo alla seconda. Di solito sostituivo al modulo la scrittura $x^2+y^2$ cioè parte reale al quadrato più parte immaginaria al quadrato ma credo non abbia nessun senso in questo caso visto il risultato.
Come fare? c'è qualche proprietà dei complessi che mi sfugge? Vi ringrazio dell'aiuto.
$ |z|^2z^2=i $
il risultato è $ z=-sqrt(2/(2(1+i))) $ e $ z=+sqrt(2/(2(1+i))) $
ora...avevo pensato di isolare $z^2$ e poi estrarre la radice, visto che il modulo di un numero complesso è un numero reale. Ma poi mi rimarrebbe da gestire appunto il modulo alla seconda. Di solito sostituivo al modulo la scrittura $x^2+y^2$ cioè parte reale al quadrato più parte immaginaria al quadrato ma credo non abbia nessun senso in questo caso visto il risultato.
Come fare? c'è qualche proprietà dei complessi che mi sfugge? Vi ringrazio dell'aiuto.
Risposte
Inizia a calcolarti le radice quadrate di i così elimini i quadrati al primo membro.
allora...la radice quadrata di i dovrebbe essere +/- $((1+i)sqrt(2))/2$ no?
e poi? mi resta ancora quel modulo di z. Che faccio?
e poi? mi resta ancora quel modulo di z. Che faccio?
Ciao ghiozzo,
ma sei sicuro di quelle soluzioni?
Secondo me sono sbagliate.
ma sei sicuro di quelle soluzioni?
Secondo me sono sbagliate.
le soluzioni dell'esercizio dici? o le soluzioni di radice di i?
Entrambe dovrebbero essere giuste. Per la radice di i ho solo razionalizzato le soluzioni...ma dovrebbero tornare.
Ma tralasciando un attimo questa questione...mi interesserebbe sapere come gestire il modulo di z :S
Entrambe dovrebbero essere giuste. Per la radice di i ho solo razionalizzato le soluzioni...ma dovrebbero tornare.
Ma tralasciando un attimo questa questione...mi interesserebbe sapere come gestire il modulo di z :S
Giusto scusa; quelle dell'esercizio. Le redaci di $i$ sono giuste.
Nell'elevamento a potenza e radice il modulo segue l'elevamento stesso; l'argomento invece nella radice fa un po' di bizze.
Se chiami $z=p\ e^(i\ phi)$ hai $p^4\ (e^(i\ phi))^2=i$.
Ti torna?
Nell'elevamento a potenza e radice il modulo segue l'elevamento stesso; l'argomento invece nella radice fa un po' di bizze.
Se chiami $z=p\ e^(i\ phi)$ hai $p^4\ (e^(i\ phi))^2=i$.
Ti torna?
no 
hai trasformato z nella sua forma esponenziale...e poi? l'hai elevato alla seconda o alla quarta? E comunque mi sfugge perché rimanga solo i.
hai trasformato z nella sua forma esponenziale...e poi? l'hai elevato alla seconda o alla quarta? E comunque mi sfugge perché rimanga solo i.
Il modo più semplice è dire che se $|z|^2z^2=i$, necessariamente $||z|^2z^2|=|i|$, che diventa $|z|^4=1$. Dato che il modulo è reale positivo deve essere $|z|=1$.
Allora l'equazione diventa $z^2=i$ ....
Puoi anche fare come dice DejaForte: da $\rho^4 e^{2i\theta}=i$, passando ai moduli trovi $\rho=1$ e $2\theta=\pi/2+2k\pi$ da cui ...
Allora l'equazione diventa $z^2=i$ ....
Puoi anche fare come dice DejaForte: da $\rho^4 e^{2i\theta}=i$, passando ai moduli trovi $\rho=1$ e $2\theta=\pi/2+2k\pi$ da cui ...
che il modulo di $i$ sia 1 ok. ma perchè $||z|^2z^2|$ si riduce a $|z|^4$? $|z|^2$ e $z^2$ si posso moltiplicare tranquillamente tra loro? perchè?
Proprietà del modulo: i numeri reali "escono" da esso in valore assoluto, $|z|^2$ è un numero reale ed hai la risposta.
Sottolineo che ViciousGoblin ti ha indicato la via risolutiva.
Sottolineo che ViciousGoblin ti ha indicato la via risolutiva.
che stupido! è vero!grazie a tutti!
Oltre al fatto che, come dice j18eos i numeri reali "escono" dal modulo in valore assoluto, c'è per la verità la proprietà più forte: $|z_1*z_2|=|z_1| |z_2|$ per qualunque coppia di
complessi $z_1$ e $z_2$. Questa serve per dire che $|z^2|=|z|^2$.
Spero di non aver sbagliato
a indicare la via risolutiva (dato che ci si stava girando intorno)
complessi $z_1$ e $z_2$. Questa serve per dire che $|z^2|=|z|^2$.
Spero di non aver sbagliato
a indicare la via risolutiva (dato che ci si stava girando intorno)
Comunque, in fin dei conti, bisogna calcolare la radice quadrata di $i$ 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo