Numeri Complessi: radici di un polinomio
Ciao a tutti. Mi sapreste gentilmente spiegare con un linguaggio semplice come trovare le radici di $z^3$=-8? Non riesco a capire il procedimento da fare. So che bisognerebbe trasformare il numero complesso in forma esponenziale giusto? Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Analisi.[/xdom]
Ciao. In un caso come questo puoi anche evitare la forma esponenziale, basta che porti tutto a I membro, $z^3+8=0$, scomponi come somma di cubi e usi la legge di annullamento del prodotto, e trovi tutte e tre le radici.
Ok. E invece nel caso $z^6$=-1 come faccio?
Potresti anche fare quasi altrettanto: $z^6+1=0 \rightarrow (z^2+1)(z^4-z^2+1)=0$ eccetera, ma in questo caso risolvere in forma esponenziale (oppure trigonometrica) sarebbe meglio.
Ciao Taraste,
i numeri complessi mi piacciono parecchio, li sto studiando a tempo perso (pochissimo), vediamo anche $z^6$ è un cubo, il cubo di $z^2$, vediamo cosa succede seguendo il suggerimento di pallit
$z^6+1=0$
$(z^2+1)(z^4-z^2+1)=0$
allora devo risolvere due equazioni
$z^2=-1$
potrebbe essere
$z_1,2=+-i$?
e poi
$z^4-z^2+1=0$
si potrebbe fare la sostituzione $z^2=t$?
finisci tu?
i numeri complessi mi piacciono parecchio, li sto studiando a tempo perso (pochissimo), vediamo anche $z^6$ è un cubo, il cubo di $z^2$, vediamo cosa succede seguendo il suggerimento di pallit
$z^6+1=0$
$(z^2+1)(z^4-z^2+1)=0$
allora devo risolvere due equazioni
$z^2=-1$
potrebbe essere
$z_1,2=+-i$?
e poi
$z^4-z^2+1=0$
si potrebbe fare la sostituzione $z^2=t$?
finisci tu?
Sai maneggiare un numero complesso in forma esponenziale? Del tipo: $z=rho e^(i phi)$__?
per $z^3=-8$ e per $z^6=-1$
io farei più semplicemente
$z^3=-8 \rightarrow z^3= 8 \cdot \exp(i(\pi))$
quindi ricordando la formula delle radici $z^n=\omega \rightarrow \omega^{1/n} \cdot \exp (i((\theta+2k\pi)/(n)))$ con $k=0,1,....n-1$
in questo tuo caso $8^{1/3} \exp(i((\pi+2k\pi)/(3)))$ con $k=0,1,2$
e sono per $k=0\rightarrow z_0=2 \exp(i(\pi/3))\rightarrow z_0=1+isqrt(3)$
per $k=1\rightarrow z_1=2\exp(i(\pi))\rightarrow z_1=-2$
per $k=2\rightarrow z_2=2\exp(i(5/3\pi))=2\exp(i(-\pi/3))\rightarrow z_2=1-i\sqrt(3)$
stessa cosa fai per $z^6=-1$
questo è il modo più semplice (secondo me) che c'è!..per risolvere l'esercizio..MA un consiglio per non stare lì a calcolare tutti gli angoli..dovresti disegnarle..così ti viene più facile.
io farei più semplicemente
$z^3=-8 \rightarrow z^3= 8 \cdot \exp(i(\pi))$
quindi ricordando la formula delle radici $z^n=\omega \rightarrow \omega^{1/n} \cdot \exp (i((\theta+2k\pi)/(n)))$ con $k=0,1,....n-1$
in questo tuo caso $8^{1/3} \exp(i((\pi+2k\pi)/(3)))$ con $k=0,1,2$
e sono per $k=0\rightarrow z_0=2 \exp(i(\pi/3))\rightarrow z_0=1+isqrt(3)$
per $k=1\rightarrow z_1=2\exp(i(\pi))\rightarrow z_1=-2$
per $k=2\rightarrow z_2=2\exp(i(5/3\pi))=2\exp(i(-\pi/3))\rightarrow z_2=1-i\sqrt(3)$
stessa cosa fai per $z^6=-1$
questo è il modo più semplice (secondo me) che c'è!..per risolvere l'esercizio..MA un consiglio per non stare lì a calcolare tutti gli angoli..dovresti disegnarle..così ti viene più facile.
Grazie a tutti delle risposte..Non so maneggiare per niente i numeri complessi per quello mi chiedevo se qualcuno poteva spiegarmi con parole semplici il procedimento da eseguire. Il mio professore all'esame pretende che noi usiamo il procedimento di "21zuclo". Adesso con calma cercherò di capire i passaggi, anche se trovo molta difficoltà!! Grazie a tutti comunque.
Grazie a tutti delle risposte..Non so maneggiare per niente i numeri complessi per quello mi chiedevo se qualcuno poteva spiegarmi con parole semplici il procedimento da eseguire. Il mio professore all'esame pretende che noi usiamo il procedimento di "21zuclo". Adesso con calma cercherò di capire i passaggi, anche se trovo molta difficoltà!! Grazie a tutti comunque.
le radici di $z^3=-8$, alla fine si posso riassumere così $z_{0,1}=1\pm i sqrt(3), z_2=-2$
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