Numeri complessi II

[leffy13]

scrivere due numeri complessi non nulli z e w tali che $z^2 = w$ e Arg z= Arg w

per esercizi di questo genere come dovrei procedere???
grazie

[adaBTTLS1]

si può scrivere un numero complesso separando la componente reale da quella immaginaria. il quadrato si svolge come se fosse il quadrato di un binomio. l'uguaglianza tra i due numeri complessi equivale alle uguaglianze delle due componenti; l'uguaglianza degli argomenti equivale alla diretta proporzionalità delle componenti. ad esempio, se chiamo $z=a+ib$, $w=c+id$, ottengo $z^2=a^2-b^2+2abi$, $Arg(z)=b/a$, Arg(w)=d/c$ e quindi il sistema seguente:
$b/a=d/c$
$a^2-b^2=c$
$2*a*b=d$
spero che sia stato utile!

[Studente Anonimo]

Ricorda che l'argomento di un numero complesso è "additivo" quando moltiplichi, nel senso che se $z$ ha argomento $alpha$ e $w$ ha argomento $beta$ allora $zw$ ha argomento $alpha+beta$ (in altre parole $Arg(zw)=Arg(z)+Arg(w)$). In particolare se un numero complesso $z$ ha argomento $alpha$ allora $z^n$ ha argomento $n alpha$.

Nel tuo caso da $z^2 = w$ segue allora $2 Arg(z) = Arg(w)$ e quindi dall'ipotesi $Arg(z)=0$. Quindi se vuoi avere qualche speranza devi sceglierli reali e positivi.

Ora che sai che $z$ e $w$ devono essere reali... beh... è facile

Edito: attenzione. Mi sono accorto che il ragionamento che ho appena fatto è "alla buona": non ho tenuto conto dei multipli di $2 pi$. Bisognerebbe dire che $Arg(zw)=Arg(z)+Arg(w)$ mod $2 pi$. Puoi semplicemente andare a vedere se ci sono soluzioni con $Arg(z)=Arg(w)=0$, cioè $z,w$ reali positivi.

[leffy13]

e sul seguente esercizio come dovrei comportarmi??

$z^3 = −w^2$ e Arg z 6 $!= $ Arg w