Numeri complessi - esercizio
ciao, ho da poco iniziato a fare questo argomento e c'è un esercizio che non so risolvere, potreste spiegarmi la risoluzione?
Grazie
Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione:
$((z-i)/(z+1))^3=-i$
Grazie
Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione:
$((z-i)/(z+1))^3=-i$
Risposte
non ricordo bene il procedimento, ma posso consigliarti di usare i numeri complessi come vettori nel piano complesso, usando le coordinate polari e allora dovrebbe uscirne fuori qualcosa di buono
Io porrei ${z-i}/{z+1}=k$. così da avere:
$k^3=-i=cos\(pi/2)-i\sin(\pi/2)=>k=\cos(\pi/6+2/3n\pi)-i\sin(\pi/6+2/3n\pi)={(\sqrt{3}/2-i/2,n=0),(-\sqrt{3}/2-i/2,n=1),(i,n=2):}$
Poi basta che sostituisci i valori trovati in:
$k_{0,1,2}={z-i}/{z+1}$
e trovi semplicemente i risultati dell equazione.
$k^3=-i=cos\(pi/2)-i\sin(\pi/2)=>k=\cos(\pi/6+2/3n\pi)-i\sin(\pi/6+2/3n\pi)={(\sqrt{3}/2-i/2,n=0),(-\sqrt{3}/2-i/2,n=1),(i,n=2):}$
Poi basta che sostituisci i valori trovati in:
$k_{0,1,2}={z-i}/{z+1}$
e trovi semplicemente i risultati dell equazione.
io lo farei cosi':
fai la radice cubica di entrambi i membri tenendo presente che la radice cubica di -i e' i, poi scrivi z come a+bi
ottieni
$(a+ib-i)/(a+ib+i)=i$
moltiplica in croce e raggruppa le i, ottieni
a+(b-1)i=ai-b-1
che e' un'uguaglianza di numeri complessi.
Due numeri complessi sono uguali sse sono uguali rispettivamente le parti reali e quelle immaginarie
dunque uguagliando tali quantita' hai il seguente sistemino
a=-b-1
b-1=a
da cui ricavi subito a=-1 e b=0
Dunque z=-1
fai la radice cubica di entrambi i membri tenendo presente che la radice cubica di -i e' i, poi scrivi z come a+bi
ottieni
$(a+ib-i)/(a+ib+i)=i$
moltiplica in croce e raggruppa le i, ottieni
a+(b-1)i=ai-b-1
che e' un'uguaglianza di numeri complessi.
Due numeri complessi sono uguali sse sono uguali rispettivamente le parti reali e quelle immaginarie
dunque uguagliando tali quantita' hai il seguente sistemino
a=-b-1
b-1=a
da cui ricavi subito a=-1 e b=0
Dunque z=-1
Mhm... Non mi torna soprattutto il primo passaggio...
Cmq i risultati sono:
$z_0=(i-1)(\sqrt{3}/2-1/2)$
$z_1=(1-i)(\sqrt{3}/2+1/2)$
$z_2=i-1$
Cmq i risultati sono:
$z_0=(i-1)(\sqrt{3}/2-1/2)$
$z_1=(1-i)(\sqrt{3}/2+1/2)$
$z_2=i-1$
mi ero scordato le altre 2 radici cubiche di i....
comunque una soluzione z=-1 e' corretta!
ho fatto la prova...
e mi torna.
Guarda che l'ho fatto adesso con Derive e mi dà esattamente quei risultati...
ecco cos'era!!!!
avevo letto z+i a denominatore invece che z+1
chiedo scusa....
avevo letto z+i a denominatore invece che z+1
chiedo scusa....
grazie per le risposte prima di tutto, quello che non riesco a capire è come trovare le tre radici cubiche di -i
Allora se hai un numero complesso in questa forma:
$z^{1/n}=\rho(cos\theta+i\sin\theta)$
si ha che:
$z=\rho^{1/n}(\cos({\theta+2k\pi}/n)+i\sin({\theta+2k\pi}/n)): k\inNN,0\lek\le n-1$
$z^{1/n}=\rho(cos\theta+i\sin\theta)$
si ha che:
$z=\rho^{1/n}(\cos({\theta+2k\pi}/n)+i\sin({\theta+2k\pi}/n)): k\inNN,0\lek\le n-1$
Giuseppe tranquillo! è normale senza MathML!! 
"stefano19k":
grazie per le risposte prima di tutto, quello che non riesco a capire è come trovare le tre radici cubiche di -i
la radice cubica di $ -j$
allora..... il $rho= |z| = sqrt (x^2 + y^2)$ giusto? in questo caso $sqrt(0^2+ 1^2) = 1 $
fai il sistema ponendo
$0= cost $ e $-1 = sen t $ con 0 e -1 coefficienti della parte reale e immaginaria
l'angolo di questo sistema dovrebbe essere $t = 3/2 pi$ (con t indico l'angolo teta)
quindi $sqrt (1) e ^j((3/2pi)+(2piK))/3 $ la radice iniziale è radice terza
"cavallipurosangue":
Mhm... Non mi torna soprattutto il primo passaggio...
Cmq i risultati sono:
$z_0=(i-1)(\sqrt{3}/2-1/2)$
$z_1=(1-i)(\sqrt{3}/2+1/2)$
$z_2=i-1$
sono riuscito a capire come si ricavano le radici e infatti i risultati sono uguali ai tuoi, però ora quando sostituisco le radici nelle equazioni i conti non tornano, potresti farmi vedere passaggio per passaggio almeno la prima soluzione?
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