Numeri Complessi e De Moivre

[Ermete22]

Ciao a tutti utenti del forum e buona sera

Vi propongo un quesito di cui conosco la risposta ma non riesco a giustificarla.

Essendo
W = 1+ sqrt(3)i
Z= p(cos(a) + i sen(a))
Determinare quale delle seguenti affermazioni è FALSA.

1) arg(W*Z) = a + pi/3 <-- Questa è l'affermazione falsa
2) Una radice dell'equazione Z^2 = W ha come argomento pi/6
3) arg(Z/W) = pi/3 + a
4) l'equazione W^2 = Z ha una soluzione

Qualcuno riesce a spiegarmi perchè la prima affermazione è falsa? Io credevo fosse vera per il teorema di De Moivre ... Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Ermete22,

"Ermete22":Vi propongo un quesito di cui conosco la risposta ma non riesco a giustificarla.

Sicuro? Proviamo a scrivere i numeri complessi in forma esponenziale:

$w = 1 + i sqrt{3} = 2 e^{i \pi/3}$
$z = \rho(cos(a) + i sin(a)) = \rho e^{i a}$

Quindi:
1) $w \cdot z = 2\rho e^{i(\pi/3 + a)} \implies arg(w \cdot z) = \pi/3 + a $ VERO
2) $z^2 = w \implies z = sqrt{w} = sqrt(2 e^{i \pi/3}) = sqrt{2} e^{i \pi/6} $ VERO
3) $ z/w = {\rho e^{i a}}/{2 e^{i \pi/3}} \implies frac{\rho}{2} e^{i (a - \pi/3)} \implies arg(z /w) = a - pi/3$ FALSO
4) $ z = w^2 = (1 + i sqrt{3})^2 = 1 + 2i sqrt{3} - 3 = - 2 + 2i sqrt{3} = 2(- 1 + i sqrt{3}) $ VERO