Numeri complessi - dubbio
ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sulle modalità di risoluzione delle equazioni nel campo complesso.
In particolare i miei dubbi nascono da come sono stati risolti questi due esercizi:
1) $ z^2 +2 >0 $ e
2) $ z^3 - 8i = 0 $
quello che non mi è chiaro è perchè per l'esercizio 1 si è provveduto a trasformare la z in (x+iy) quindi portare avanti la disequazione fino ad ottenere il sistema formato dal campo reale e dal campo immaginario MENTRE nell'esercizio 2 si sono andate a calcolare le radici terze di 8i.
Nell' esercizio 1 infatti saremmo nella forma $ z^2 > -2 $ così come nell'esercizio 2 siamo nella forma $ z^3 = 8i $ quindi il metodo di risoluzione non dovrebbe essere lo stesso???(Io avrei usato per entrambi il calcolo delle radici n-esime).
NOTA:nell'esercizio 1 in realtà mi si chiede per quale valore di z la funzione data è reale e strettamente positiva mentre nell'esercizio 2 mi si chiede semplicemnte di risolvere l'equazione nel campo complesso però a me interessa capire perchè si sono usati due metodi differenti!
Grazie.
ciao!
In particolare i miei dubbi nascono da come sono stati risolti questi due esercizi:
1) $ z^2 +2 >0 $ e
2) $ z^3 - 8i = 0 $
quello che non mi è chiaro è perchè per l'esercizio 1 si è provveduto a trasformare la z in (x+iy) quindi portare avanti la disequazione fino ad ottenere il sistema formato dal campo reale e dal campo immaginario MENTRE nell'esercizio 2 si sono andate a calcolare le radici terze di 8i.
Nell' esercizio 1 infatti saremmo nella forma $ z^2 > -2 $ così come nell'esercizio 2 siamo nella forma $ z^3 = 8i $ quindi il metodo di risoluzione non dovrebbe essere lo stesso???(Io avrei usato per entrambi il calcolo delle radici n-esime).
NOTA:nell'esercizio 1 in realtà mi si chiede per quale valore di z la funzione data è reale e strettamente positiva mentre nell'esercizio 2 mi si chiede semplicemnte di risolvere l'equazione nel campo complesso però a me interessa capire perchè si sono usati due metodi differenti!
Grazie.
ciao!
Risposte
La scrittura
$z^2+2>0$
NON HA SENSO se $z$ è un numero complesso. Non si può considerare la relazione d'ordine (il "$>$") nei complessi. Secondo te $i$ è maggiore o minore di zero ?
Altro è dire che $z^2+2$ E' REALE e strettamente positiva, e cioè
$Re(z^2+2)>0$ e $Im(z^2+2)=0$.
Viceversa il secondo problema è un 'equazione e i soliti passaggi algebrici sono consentiti nei complessi.
$z^2+2>0$
NON HA SENSO se $z$ è un numero complesso. Non si può considerare la relazione d'ordine (il "$>$") nei complessi. Secondo te $i$ è maggiore o minore di zero ?
Altro è dire che $z^2+2$ E' REALE e strettamente positiva, e cioè
$Re(z^2+2)>0$ e $Im(z^2+2)=0$.
Viceversa il secondo problema è un 'equazione e i soliti passaggi algebrici sono consentiti nei complessi.
sì,quello l'ho chiaro mentre vorrei capire perchè non viene utilizzato il metodo del calcolo delle radici n-esime anche quando ho $ z^2 $ (in tutti gli esercizi che ho visto,quando c'è un quadrato si preferisce utilizzare la forma $ x+iy $)..NON utilizzandolo,non vedo il discorso relativo alla periodicità dell'angolo..
"lucay9":
sì,quello l'ho chiaro mentre vorrei capire perchè non viene utilizzato il metodo del calcolo delle radici n-esime anche quando ho $ z^2 $ (in tutti gli esercizi che ho visto,quando c'è un quadrato si preferisce utilizzare la forma $ x+iy $)..NON utilizzandolo,non vedo il discorso relativo alla periodicità dell'angolo..
Dovresti fare un esempio perché io possa capire cosa intendi.
considera pure i due casi che ho riportato nel primo post,utilizzando l' $ = $ invece dell' $ > $...in alcuni esercizi ho visto che quando c'è il quadrato si sviluppa la z invece che utilizzare le radici n-esime.
"lucay9":
considera pure i due casi che ho riportato nel primo post,utilizzando l' $ = $ invece dell' $ > $...in alcuni esercizi ho visto che quando c'è il quadrato si sviluppa la z invece che utilizzare le radici n-esime.
Vuoi dire $z^2+2=0$ ?
Beh in realtà qui si possono usare sia la rappresentazione di $z$ come $x+iy$ sia in termini del modulo e dell'argomento, cioè $z=\rho e^{i\theta}$ (se conosci l'esponenziale complesso).
Nel primo modo l'equazione diventa
$(x+iy)^2+2=0$ e cioè $x^2+2ixy-y^2+2=0$. A questo punto (un numero complesso è nullo se e solo se lo sono la parte reale e la prte immaginaria) si ha
$x^2-y^2-2=0$ e $2xy=0$ (un sistema non lineare in $x$ e $y$). La seconda equazione ha come soluzioni o $x=0$ oppure $y=0$.
Se $x=0$ la prima equazione dà $y^=2$ da cui $y=\pm\sqrt{2}$.
Se $y=0$ la prima equazione dà $x^2+2=0$ che non ha soluzioni REALI.
Quindi ottieni $z=0\pm i\sqrt{2}=\pm\sqrt{2}i$.
Se invece usi la forma "polare" $z=\rho e^{i\theta}$ trovi
$z^2+2=0$ se e solo se $\rho^2 e^{i2\theta}=-2$ se e solo se $\rho^2 e^{i2\theta}=2e^{i\pi}$.
Dato che due complessi sono eguali se e solo se hanno lo stesso modulo e argomento che differisce per un multiplo di $2\pi$ ottieni
$\rho^2=2$ e $2\theta=\pi+2k\pi$ cioè $\rho=\sqrt{2}$ e $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$. E' chiaro cha basta prendere $k=0$ e $k=0$ dato che gli altri $k$ producono argomenti che differiscono
da questi per dei multipli di $2\pi$. Quindi trovi $\rho=\sqrt{2}$ e $\theta=\pi/2$ oppure $\rho=\sqrt{2}$ e $\theta=3\pi/2$, cioè
$z=\sqrt{2}e^{i\pi/2}=\sqrt{2}i$ e $z=\sqrt{2}e^{i3\pi/2}=-\sqrt{2}i$.
Vedi quindi che i due metodi portano allo stesso risultato. In questo caso sta a te dire quale preferisci - in altri problemi uno può essere nettamente migliore dell'altro (bisogna fare un po' di esperienza).
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