Numeri complessi: argomento
scusate ho un dubbio...stavo risolvendo l'argomento di un numero complesso che è il seguente:
$-1-sqrt(3i)$
ne stavo calcolando l'argomento...ma non capisco perchè lo svolgimento dice che viene come risultato 2/3 pigreco
non fa pigreca/6? cioè non si svolge con tang b/a?
grazie mille
$-1-sqrt(3i)$
ne stavo calcolando l'argomento...ma non capisco perchè lo svolgimento dice che viene come risultato 2/3 pigreco
non fa pigreca/6? cioè non si svolge con tang b/a?
grazie mille
Risposte
Io sapevo, se il numero complesso è $a +ib$, che il suo argomento è $arctg(b/a)$ (con un $+ \pi$ se $a < 0$)
ok...ma in ogni caso come fa a venire 2/3 pigreco? non riesco a capire...mi date una mano per favore? grazie
cioè dovrebbe venire acrcotangente di - rad 3/-1
Consiglio: fare sempre un disegno. Altrimenti si sbaglia. Disegniamo il nostro numero complesso nel piano [tex](\Re, \Im)[/tex]:
[asvg]xmin=-2; ymin=-2; xmax=2; ymax=2; axes("label"); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [-1, -1.7]);marker="none"; stroke="gray"; arc([0.3, 0], [-0.23, -0.4], 0.3);marker="arrow";stroke="lightgray";line([0,0], [1, 1.7]);[/asvg]
L'angolo da determinare è quello in grigio scuro. Ti sembra essere uguale a [tex]\arctan(\sqrt{3})=\pi/3[/tex]? [EDIT]: No, scusa, qui c'è qualcosa che non va. [size=75]Infatti, è esattamente il complementare di [tex]\pi/3[/tex].[/size][/edit]
La formula che hai applicato va bene per numeri complessi con argomento compreso tra [tex]0[/tex] e [tex]\pi[/tex], ovvero che giacciono nel semipiano superiore, come per esempio quello trasparente nel disegno (che è uguale a [tex]1+\imath \sqrt{3}[/tex]). Prova ad applicare la tua formula anche a questo numero complesso e vedrai che ottieni esattamente lo stesso risultato di prima.
[asvg]xmin=-2; ymin=-2; xmax=2; ymax=2; axes("label"); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [-1, -1.7]);marker="none"; stroke="gray"; arc([0.3, 0], [-0.23, -0.4], 0.3);marker="arrow";stroke="lightgray";line([0,0], [1, 1.7]);[/asvg]
L'angolo da determinare è quello in grigio scuro. Ti sembra essere uguale a [tex]\arctan(\sqrt{3})=\pi/3[/tex]? [EDIT]: No, scusa, qui c'è qualcosa che non va. [size=75]Infatti, è esattamente il complementare di [tex]\pi/3[/tex].[/size][/edit]
La formula che hai applicato va bene per numeri complessi con argomento compreso tra [tex]0[/tex] e [tex]\pi[/tex], ovvero che giacciono nel semipiano superiore, come per esempio quello trasparente nel disegno (che è uguale a [tex]1+\imath \sqrt{3}[/tex]). Prova ad applicare la tua formula anche a questo numero complesso e vedrai che ottieni esattamente lo stesso risultato di prima.
si in effetti avevo fatto lo stesso grafico e avevo constatato che il disegno non poteva corrispondere al risultato che mi è venuto...e l'ho applicato anche all'altro numero in quanto sono numeri risoluzione di un'equazione con discriminante negativo...però quello che non riesco a capire è quello che devo fare in questi casi per determinare l'argomento...so che bisogna guardare il disegno...ma non mi è stato ben spiegato e allora fatico a capire il procedimento...mi potreste dare una mano per capirlo meglio?? grazie mille e scusate
No, scusami tu, c'è qualche errore nel mio post precedente. Sei sicura che il risultato sia [tex]2/3\, \pi[/tex]? Non sarà che invece è [tex]-2/3\, \pi[/tex]? Poi, vedo che nel primo post hai messo [tex]\imath[/tex] sotto il segno di radice quadrata. Presumo che sia una svista e che il numero corretto sia [tex]-1-\imath \sqrt{3}[/tex], giusto?
il numero che ho segnato deriva dalla risoluzione dell'equazione
$z^4+2z^2+4$
ti posto il link con tutto il procedimento che ho trovato, così se magari mi sono spiegata male, può risultare più chiaro qual'è il mio problema
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
lo svolgimento si trova alla pagina 8
grazie di cuore dell'aiuto
scusa dimenticavo di precisare che è l'esercizio 9b
$z^4+2z^2+4$
ti posto il link con tutto il procedimento che ho trovato, così se magari mi sono spiegata male, può risultare più chiaro qual'è il mio problema
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... svolti.pdf
lo svolgimento si trova alla pagina 8
grazie di cuore dell'aiuto
scusa dimenticavo di precisare che è l'esercizio 9b
Comunque vedo di dare una spiegazione in generale. Cominciamo con il prendere un numero complesso nel primo quadrante e determiniamone l'argomento.
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [0.5, 0.866]);stroke="gray"; marker="dot"; line([0.5, 0.866], [0.5, 0]); line([0.5, 0.866], [0, 0.866]); marker="none";[/asvg]
Applichiamo delle considerazioni di trigonometria elementare. Infatti, consideriamo il triangolo rettangolo
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); strokewidth=1.5; line([0, 0], [0.5, 0.866]);line([0.5, 0.866], [0.5, 0]);line([0.5, 0], [0, 0]); stroke="lightgray"; arc([0.1, 0], [5/100, 0.866/10], 0.1); text([0.1, 0.1], "theta", right);[/asvg]
si tratta di calcolare l'angolo in grigio, noti i cateti. Un primo passo è applicare la funzione tangente, che è proprio il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo. Quindi
[tex]\mathrm{(1)}\ \tan \theta= \frac{\Im}{\Re}[/tex].
Si tratta ora di risalire dalla tangente di [tex]\theta[/tex] a [tex]\theta[/tex]. Ricordiamo il grafico di [tex]\tan[/tex]: (attenzione: le linee verticali sono dovute ad errori di arrotondamento)
[asvg]xmin=-6.28; xmax=6.28; ymin=-5; ymax=5; axes(); stroke="red";plot("tan(x)");[/asvg]
Questa funzione è invertibile nell'intervallo [tex](-\pi/2, \pi/2)[/tex] e la propria inversa è [tex]\arctan[/tex]. Allora, se sappiamo a priori che l'argomento [tex]\theta[/tex] cade in questo intervallo, possiamo brutalmente applicare [tex]\arctan[/tex] ad ambo i membri della (1):
[tex]\arctan{( \tan \theta)}= \arctan{\frac{\Im}{\Re}}[/tex]
e grazie alle considerazioni precedenti, [tex]\arctan{(\tan \theta)}=\theta[/tex], per cui
[tex]\theta=\arctan{\frac{\Im}{\Re}}[/tex]
e il problema è risolto. Ricordiamo: questo ragionamento va bene se [tex]-\pi/2\le\theta\le\pi/2[/tex].
E per gli altri numeri complessi come si fa?
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1; axes(); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [-0.5, 0.866]); text([-0.5, 0.866], "z", right); stroke="gray"; line([0,0], [0.5,- 0.866]); text([0.5, -0.866], "-z", right);
stroke="gray";[/asvg]
In questo caso, applicando la formula di sopra, quello che otteniamo è effettivamente l'argomento di [tex]- z[/tex] (che giace nel semipiano "giusto"), come dovrebbe essere chiaro con un momento di riflessione.
Mi fermo qui per non allungare troppo il post. Spero sia chiaro, se necessario richiedi pure ulteriori informazioni.
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [0.5, 0.866]);stroke="gray"; marker="dot"; line([0.5, 0.866], [0.5, 0]); line([0.5, 0.866], [0, 0.866]); marker="none";[/asvg]
Applichiamo delle considerazioni di trigonometria elementare. Infatti, consideriamo il triangolo rettangolo
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); strokewidth=1.5; line([0, 0], [0.5, 0.866]);line([0.5, 0.866], [0.5, 0]);line([0.5, 0], [0, 0]); stroke="lightgray"; arc([0.1, 0], [5/100, 0.866/10], 0.1); text([0.1, 0.1], "theta", right);[/asvg]
si tratta di calcolare l'angolo in grigio, noti i cateti. Un primo passo è applicare la funzione tangente, che è proprio il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo. Quindi
[tex]\mathrm{(1)}\ \tan \theta= \frac{\Im}{\Re}[/tex].
Si tratta ora di risalire dalla tangente di [tex]\theta[/tex] a [tex]\theta[/tex]. Ricordiamo il grafico di [tex]\tan[/tex]: (attenzione: le linee verticali sono dovute ad errori di arrotondamento)
[asvg]xmin=-6.28; xmax=6.28; ymin=-5; ymax=5; axes(); stroke="red";plot("tan(x)");[/asvg]
Questa funzione è invertibile nell'intervallo [tex](-\pi/2, \pi/2)[/tex] e la propria inversa è [tex]\arctan[/tex]. Allora, se sappiamo a priori che l'argomento [tex]\theta[/tex] cade in questo intervallo, possiamo brutalmente applicare [tex]\arctan[/tex] ad ambo i membri della (1):
[tex]\arctan{( \tan \theta)}= \arctan{\frac{\Im}{\Re}}[/tex]
e grazie alle considerazioni precedenti, [tex]\arctan{(\tan \theta)}=\theta[/tex], per cui
[tex]\theta=\arctan{\frac{\Im}{\Re}}[/tex]
e il problema è risolto. Ricordiamo: questo ragionamento va bene se [tex]-\pi/2\le\theta\le\pi/2[/tex].
E per gli altri numeri complessi come si fa?
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1; axes(); stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0], [-0.5, 0.866]); text([-0.5, 0.866], "z", right); stroke="gray"; line([0,0], [0.5,- 0.866]); text([0.5, -0.866], "-z", right);
stroke="gray";[/asvg]
In questo caso, applicando la formula di sopra, quello che otteniamo è effettivamente l'argomento di [tex]- z[/tex] (che giace nel semipiano "giusto"), come dovrebbe essere chiaro con un momento di riflessione.
Mi fermo qui per non allungare troppo il post. Spero sia chiaro, se necessario richiedi pure ulteriori informazioni.
grazie mille per lo schemino che ho appuntato e compreso molto bene...grazir anche della pazienza
Scusa, c'era un errore che spero non ti abbia confuso: ad un certo punto avevo scritto [tex]\arctan{\tan{\theta}}=\tan{\theta}[/tex], quando in realtà intendevo [tex]\arctan{\tan{\theta}}=\theta[/tex]. Ora ho corretto.
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