Numeri complessi
salve a tutti ragazzi,
ho dei problemi con questo esercizio sui numeri complessi:
$ bar (z)^3 (bar (z - 1))=|bar (z)|^4 |bar (z -1)|^2 $
volevo sapere se c'è qualcuno che potrebbe indicarmi la giusta via...ad esempio se ci sono delle semplificazioni da fare...prima di iniziare perchè sono bloccato!!!!
grazie
ho dei problemi con questo esercizio sui numeri complessi:
$ bar (z)^3 (bar (z - 1))=|bar (z)|^4 |bar (z -1)|^2 $
volevo sapere se c'è qualcuno che potrebbe indicarmi la giusta via...ad esempio se ci sono delle semplificazioni da fare...prima di iniziare perchè sono bloccato!!!!
grazie
Risposte
Potresti osservare che a destra c'è un numero reale positivo e per cui anche a sinistra deve essere tale. Oppure ricordare che in generale $|w|^2=w\cdot\bar{w}$ e fare un po' di raccoglimenti.
ok fin qui ci siamo...mentre per il coniugato di z -1 come devo ragionare?
Pensaci su un momento... la risposta ce l'hai davanti agli occhi!
scusa l'ignoranza posso dire che z-1 coniugato è uguale a z +1?
Aaaaarrrrggghhhhhhh sacrilegio! Se $|w|^2=w\cdot\bar{w}$ indovina quanto fa $|\bar{w}|^2=?$ Ma leggersi le definizioni prima di fare gli esercizi no, eh?
Può essere un primo passaggio verso la risoluzione?
$ bar (z)^3*(bar (z)-1)=(z*bar (z))^2*|bar (z) | ^2-1 $
$ bar (z)^3*(bar (z)-1)=(z*bar (z))^2*|bar (z) | ^2-1 $
Assolutamente no! Quello che puoi scrivere è che
$\bar{z}^3\cdot(\bar{z-1})=\bar{z}^2\cdot z^2\cdot (\bar{z-1})\cdot(z-1)$
da cui
$\bar{z}^2\cdot(\bar{z-1})\cdot[\bar{z}-z^2(z-1)]=0$
$\bar{z}^3\cdot(\bar{z-1})=\bar{z}^2\cdot z^2\cdot (\bar{z-1})\cdot(z-1)$
da cui
$\bar{z}^2\cdot(\bar{z-1})\cdot[\bar{z}-z^2(z-1)]=0$
adesso dovrei sostituire la forma z = x + iy .....giusto???
p.s. scusami ma i numeri complessi non li riesco proprio a capire!!!!
p.s. scusami ma i numeri complessi non li riesco proprio a capire!!!!
Adesso la tua equazione equivale a queste tre:
$\bar{z}^2=0,\ \bar{z-1}=0,\ \bar{z}-z^3+z=0$
Le prime due sono banali: $z=0,\ z=1$ sono le soluzioni (perché?).
Per la terza, usando la forma cartesiana $z=x+iy$, essendo $\bar{z}=x-iy,\ z^2=x^2-y^2+2ixy$ si ha
$x-iy-(x^2-y^2+2ixy)(x+iy-1)=0$
da cui, isolando parte reale e coefficiente dell'immaginario il sistema
$x-(x^2-y^2)(x-1)+2xy^2=0,\ -y-2xy(x-1)-y(x^2-y^2)=0$
Ora continua tu.
P.S.: c'è poco da capire. Bisogna solo applicare un paio di definizioni...conoscendole!
$\bar{z}^2=0,\ \bar{z-1}=0,\ \bar{z}-z^3+z=0$
Le prime due sono banali: $z=0,\ z=1$ sono le soluzioni (perché?).
Per la terza, usando la forma cartesiana $z=x+iy$, essendo $\bar{z}=x-iy,\ z^2=x^2-y^2+2ixy$ si ha
$x-iy-(x^2-y^2+2ixy)(x+iy-1)=0$
da cui, isolando parte reale e coefficiente dell'immaginario il sistema
$x-(x^2-y^2)(x-1)+2xy^2=0,\ -y-2xy(x-1)-y(x^2-y^2)=0$
Ora continua tu.
P.S.: c'è poco da capire. Bisogna solo applicare un paio di definizioni...conoscendole!
grazie mille!!! mi son tolto alcuni dubbi...continuerò seguirò il tuo consiglio!!!!!!!!!!!!
ok.. perfetta spiegazione.. grazie..
Mi sono accorto che c'è un modo più furbo per risolvere questa equazione. Consideriamo di nuovo l'ultimo caso
$\bar{z}+z=z^3$
Ora, a destra (per definizione) c'è il doppio della parte reale di $z$ (infatti $Re(z)={z+\bar{z}}/2$). Questo implica che anche il numero a sinistra debba essere reale, e pertanto, scritto $z=\rho(\costheta+i\sin\theta)$ (forma trigonometrica), essendo (per una formula nota) $z^3=\rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))$ e dovendo essere questo reale, si ha che
$\rho^3\sin(3\theta)=0\ \Rightarrow\ \rho=0 $ o $3\theta=k\pi$
e pertanto o $\rho=0$ per cui $z=0$ (ma questa è una soluzione già nota), oppure $3\theta=k\pi$ e quindi $\theta={k\pi}/3,\ k=0,...,5$. A questo punto si ha che
$z^3=\rho^3(\cos(k\pi))=(-1)^k\rho^3$ (poiché è noto che $\cos(k\pi)=(-1)^k$
e quindi sostituendo nell'equazione e tenendo presente che $Re(z)=\rho\cos\theta$
$2\rho\cos({k\pi}/3)=(-1)^k \rho^3$
da cui $\rho^2=(-1)^k\cdot 2\cos({k\pi}/3)$. A questo punto, sostituendo i valori di cappa, si ha
$k=0\ \Rightarrow\ \rho^2=2\ \Rightarrow\ \rho=\sqrt{2}$
$k=1\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=2\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=3\ \Rightarrow\ \rho^2=2\ \Rightarrow\ \ro=\sqrt{2}$
$k=4\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=5\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
Ne segue che le soluzioni sono $z=\pm\sqrt{2}$, ottenute per $k=0,\ 3$.
$\bar{z}+z=z^3$
Ora, a destra (per definizione) c'è il doppio della parte reale di $z$ (infatti $Re(z)={z+\bar{z}}/2$). Questo implica che anche il numero a sinistra debba essere reale, e pertanto, scritto $z=\rho(\costheta+i\sin\theta)$ (forma trigonometrica), essendo (per una formula nota) $z^3=\rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))$ e dovendo essere questo reale, si ha che
$\rho^3\sin(3\theta)=0\ \Rightarrow\ \rho=0 $ o $3\theta=k\pi$
e pertanto o $\rho=0$ per cui $z=0$ (ma questa è una soluzione già nota), oppure $3\theta=k\pi$ e quindi $\theta={k\pi}/3,\ k=0,...,5$. A questo punto si ha che
$z^3=\rho^3(\cos(k\pi))=(-1)^k\rho^3$ (poiché è noto che $\cos(k\pi)=(-1)^k$
e quindi sostituendo nell'equazione e tenendo presente che $Re(z)=\rho\cos\theta$
$2\rho\cos({k\pi}/3)=(-1)^k \rho^3$
da cui $\rho^2=(-1)^k\cdot 2\cos({k\pi}/3)$. A questo punto, sostituendo i valori di cappa, si ha
$k=0\ \Rightarrow\ \rho^2=2\ \Rightarrow\ \rho=\sqrt{2}$
$k=1\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=2\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=3\ \Rightarrow\ \rho^2=2\ \Rightarrow\ \ro=\sqrt{2}$
$k=4\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
$k=5\ \Rightarrow\ \rho^2=-1$ non accettabile
Ne segue che le soluzioni sono $z=\pm\sqrt{2}$, ottenute per $k=0,\ 3$.
fantastico!!!!!sei un grande grazie mille a presto!!!
Scusami un attimo...rivedendo per bene l'esercizio...in particolare la terza equazione come primo passo abbiamo $ bar z - z^2 (z -1) = 0$
che dovrebbe essere $ bar z - z^3 + z^2 = 0$ giusto???
perchè poi hai scritto che la terza equazione vale :
$ bar z - z^3 + z = 0 $ ????
cioè la z dovrebbe essere al quadrato?!
che dovrebbe essere $ bar z - z^3 + z^2 = 0$ giusto???
perchè poi hai scritto che la terza equazione vale :
$ bar z - z^3 + z = 0 $ ????
cioè la z dovrebbe essere al quadrato?!
Azz! Perché m'è scappato il 2 e non ho ricontrollato! Oki, niente, il post di prima non è contestuale alla risoluzione! Penso se c'è un modo alternativo alla risoluzione piuttosto che passare a forma cartesiana.
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