Numeri complessi
calcolare in $ CC $
$ ( z^(6) +2 + 3i ) ( z^(2) + (2 + iroot(2)(2) + 3i)z + (2i - root(2)(2))3)=0 $
prima ricavo la z da :
$ ( z^(6) +2 + 3i ) = 0 $
$ z^(6)=-2 - 3i $
$ z_(k) = (13)^(1/12)e^{idel_(k)} $ con $ k=1,2,3,4,5 $ e $ del={ arcotan(3/2) + Pgreco + 2k Pgreco} / 6 $
da quest'ultima non ho capito niente,il 13 elevato a 1/12 da dove si ottiene?e poi perche compare l'arcotangente? ce' un altro modo per scrivere il risultato?
mentre da
$ ( z^(2) + (2 + iroot(2)(2) + 3i)z + (2i - root(2)(2))3)=0 $
come faccio a semplificarla ??? ad $ (z + 2 +iroot(2)(2) ) (z +i3) = 0 $
ottenendo $ z = -2 -iroot(2)(2)$ e $ z=-3i $
$ ( z^(6) +2 + 3i ) ( z^(2) + (2 + iroot(2)(2) + 3i)z + (2i - root(2)(2))3)=0 $
prima ricavo la z da :
$ ( z^(6) +2 + 3i ) = 0 $
$ z^(6)=-2 - 3i $
$ z_(k) = (13)^(1/12)e^{idel_(k)} $ con $ k=1,2,3,4,5 $ e $ del={ arcotan(3/2) + Pgreco + 2k Pgreco} / 6 $
da quest'ultima non ho capito niente,il 13 elevato a 1/12 da dove si ottiene?e poi perche compare l'arcotangente? ce' un altro modo per scrivere il risultato?
mentre da
$ ( z^(2) + (2 + iroot(2)(2) + 3i)z + (2i - root(2)(2))3)=0 $
come faccio a semplificarla ??? ad $ (z + 2 +iroot(2)(2) ) (z +i3) = 0 $
ottenendo $ z = -2 -iroot(2)(2)$ e $ z=-3i $
Risposte
Ciao
Rispondo alla tua prima domanda, quella relativa a $z_{k}$
per prima cosa devi sapere che quando hai un numero complesso $z^{n}$, questo ha sempre $n$ radici.
Quindi nel tuo caso in cui $n$ vale 6, avrai 6 radici diverse.
per trovarle se fa in questo modo:
per prima cosa si prende il numero complesso $z$ e lo si trasforma nella sua forma polare con modulo e angolo ovvero
$z = rho e^{\varphi i}$
le radici di $z^{n}$ per tanto saranno n valori (complessi o reali) che trovi usando la formula
$rho^{\frac{1}{n}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{n} ) }$
con $k = 0, 1, 2, 3, ... , n-1$
dove ovviamente avendo il tuo $z$ in forma cartesiana $a+i b$ il modulo $rho = \sqrt( a^{2} + b^{2})$ e l'angolo $\varphi = arctan(\frac{b}{a})$ se $a>0$ oppure $\varphi = arctan(\frac{b}{a} + \pi)$ se $a<0$
nel tuo caso hai $n=6$ quindi le tue radici sono date da
$rho^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) }$
con $k$ che va da 0 a 5.
per arrivare alla tua secondo domanda ovvero "il 13 elevato a 1/12 da dove si ottiene?"
se calcoli il modulo avrai $rho = \sqrt( (-2)^{2} + (-3)^{2} ) = \sqrt( 13 ) = 13^{\frac{1}{2}} $
pertanto
la tue radici diventano $rho^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) } = (13^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) } = 13^{\frac{1}{12}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) }$
per il resto della tua domanda adesso non riesco a risponderti, sono di corsa
cerco di fare il possibile appena torno
spero di averti aiutato
ciao
Rispondo alla tua prima domanda, quella relativa a $z_{k}$
per prima cosa devi sapere che quando hai un numero complesso $z^{n}$, questo ha sempre $n$ radici.
Quindi nel tuo caso in cui $n$ vale 6, avrai 6 radici diverse.
per trovarle se fa in questo modo:
per prima cosa si prende il numero complesso $z$ e lo si trasforma nella sua forma polare con modulo e angolo ovvero
$z = rho e^{\varphi i}$
le radici di $z^{n}$ per tanto saranno n valori (complessi o reali) che trovi usando la formula
$rho^{\frac{1}{n}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{n} ) }$
con $k = 0, 1, 2, 3, ... , n-1$
dove ovviamente avendo il tuo $z$ in forma cartesiana $a+i b$ il modulo $rho = \sqrt( a^{2} + b^{2})$ e l'angolo $\varphi = arctan(\frac{b}{a})$ se $a>0$ oppure $\varphi = arctan(\frac{b}{a} + \pi)$ se $a<0$
nel tuo caso hai $n=6$ quindi le tue radici sono date da
$rho^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) }$
con $k$ che va da 0 a 5.
per arrivare alla tua secondo domanda ovvero "il 13 elevato a 1/12 da dove si ottiene?"
se calcoli il modulo avrai $rho = \sqrt( (-2)^{2} + (-3)^{2} ) = \sqrt( 13 ) = 13^{\frac{1}{2}} $
pertanto
la tue radici diventano $rho^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) } = (13^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{6}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) } = 13^{\frac{1}{12}} e^{ i ( \frac{\varphi + 2k \pi}{6} ) }$
per il resto della tua domanda adesso non riesco a risponderti, sono di corsa
cerco di fare il possibile appena torno
spero di averti aiutato
ciao
ciao
grazie per l'aiuto
sei stato chiarissimo
grazie per l'aiuto
sei stato chiarissimo
Per la seconda, quello che hai è una equazione di secondo grado. Puoi scriverla così
[tex]$z^2+(2+i\sqrt{2})z+3i z+3i(2+i\sqrt{2})z=0$[/tex]
e quindi raccogliendo
[tex]$z(z+2+i\sqrt{2})+3i(z+2+i\sqrt{2})=0\ \Rightarrow\ (z+3i)(z+2+i\sqrt{2})=0$[/tex]
[tex]$z^2+(2+i\sqrt{2})z+3i z+3i(2+i\sqrt{2})z=0$[/tex]
e quindi raccogliendo
[tex]$z(z+2+i\sqrt{2})+3i(z+2+i\sqrt{2})=0\ \Rightarrow\ (z+3i)(z+2+i\sqrt{2})=0$[/tex]
scusa avendo perso la mano a risolvere le equazioni trovo un po di difficolta'
essenzialmente perche non conoscendo il risultato finale,quindi dove si vuole arrivare ,ci sono molti modi di riscriverla
magari ottenendo $ z^2 +2z +zi\sqrt{2} +z3i + (2i +i^2\sqrt{2})3 = 0 $
e raccogliendo $ z(z + 2 + i\sqrt{2} + 3i )+ (2+i\sqrt{2})3i = 0
e poi non sapendo come continuare se non avessi letto il tuo commento e quindi mi porto $3iz$ fuori dalla prima parentesi e lo raccolgo con la seconda.
quindi ci sono delle regole precise per sapere dove conviene moltiplicare o raccogliere,o bisogna sempre andare ad intuito?
essenzialmente perche non conoscendo il risultato finale,quindi dove si vuole arrivare ,ci sono molti modi di riscriverla
magari ottenendo $ z^2 +2z +zi\sqrt{2} +z3i + (2i +i^2\sqrt{2})3 = 0 $
e raccogliendo $ z(z + 2 + i\sqrt{2} + 3i )+ (2+i\sqrt{2})3i = 0
e poi non sapendo come continuare se non avessi letto il tuo commento e quindi mi porto $3iz$ fuori dalla prima parentesi e lo raccolgo con la seconda.
quindi ci sono delle regole precise per sapere dove conviene moltiplicare o raccogliere,o bisogna sempre andare ad intuito?
La seconda che hai detto!
scusate l'ultimo dubbio che riguarda la formula
$ rho^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\varphi +2k\pi}{n})} $
la potrei utilizzare anche se devo calcolare per esempio $z^3=2i $ ?
come si calcolerebbe $\varphi$ ? essendo $b=2$ ed $a=0$ quindi ne minore e ne maggiore di 0.sarebbe arcotang di 1?
$ rho^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\varphi +2k\pi}{n})} $
la potrei utilizzare anche se devo calcolare per esempio $z^3=2i $ ?
come si calcolerebbe $\varphi$ ? essendo $b=2$ ed $a=0$ quindi ne minore e ne maggiore di 0.sarebbe arcotang di 1?
$2i=2e^(i\pi/2)$
ciao
no non è arctg di 2
il quel caso puoi prendere l'una o l'altra formula, non cambia. prendiamo per esempio la prima
l'angolo ti viene $\varphi = arctg(\frac{b}{a}) = arctg(\frac{2}{0}) = arctg(\infty)$
se prendiamo la seconda formula abbiamo
$\varphi = arctg(\frac{b}{a}+\pi) = arctg(\frac{2}{0}+\pi) = arctg(\infty+\pi)= arctg(\infty)$
ora, quale è quell'angolo la cui tangente vale infinito?
a questa domanda prova a rispondermi tu
no non è arctg di 2
il quel caso puoi prendere l'una o l'altra formula, non cambia. prendiamo per esempio la prima
l'angolo ti viene $\varphi = arctg(\frac{b}{a}) = arctg(\frac{2}{0}) = arctg(\infty)$
se prendiamo la seconda formula abbiamo
$\varphi = arctg(\frac{b}{a}+\pi) = arctg(\frac{2}{0}+\pi) = arctg(\infty+\pi)= arctg(\infty)$
ora, quale è quell'angolo la cui tangente vale infinito?
a questa domanda prova a rispondermi tu
Caspita... speculor mi ha preceduto
Anche se non sono stato altrettanto prodigo di informazioni. 
$pi/2$
quindi le radici sarebbero
$ 2^{\frac{1}{3}}e^{i(\frac{\pi/2 +2k\pi}{3})} $
quindi le radici sarebbero
$ 2^{\frac{1}{3}}e^{i(\frac{\pi/2 +2k\pi}{3})} $
Ok, a patto che $k=0,1,2$.
Infatti, spesso temo di essere un po' prolisso
La mia non voleva essere una critica.
lo so, infatti ho riso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo