Numeri complessi
dimostrare che $\forall n\in NN$ vale.
$-0.13
come suggerimento mi si dice che può essere utile ricordare che $1+z+z^{2}+...+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}.
non so proprio come sfruttarlo.
$-0.13
come suggerimento mi si dice che può essere utile ricordare che $1+z+z^{2}+...+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}.
non so proprio come sfruttarlo.
Risposte
"miuemia":Poni [tex]z=e^{\imath \theta}[/tex] e ricordati che [tex]e^{\imath \theta}=\cos \theta +\imath \sin \theta[/tex]. Per [tex]\theta = 1[/tex] dovresti arrivare da qualche parte (forse).
$1+z+z^{2}+...+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}.
ho sostituito ma non ottengo gran chè o melio non riesco a ottenere nessuna stima che mi avvicini al risultato
Vale $sin(k) = Im (e^{ik})$ per ogni $k in NN$.
Sia $alpha = e^i = cos(1) + i sin(1)$.
Allora $S := sum_{j=1}^n sin(j) = sum_{j=0}^n Im( e^{ij}) = Im( sum_{j=0}^n alpha^j ) = Im (\frac{1 - alpha^{n+1}}{1-alpha} )$.
Si osservi che se $z=a+bi,w=c+di$ allora $Im(z/w) = frac{bc-ad}{|w|^2}$.
Quindi $S= \frac{Im(1-alpha^{n+1})Re(1-alpha) - Re(1-alpha^{n+1})Im(1-alpha)}{|1-alpha|^2} = \frac{-sin(n+1) (1-cos(1)) + (1-cos(n+1))sin(1)}{2(1-cos(1))} =$$ \frac{sin(1) - sin(n+1) + (sin(n+1) cos(1) - cos(n+1) sin(1))}{2(1-cos(1))} = \frac{sin(1) + sin(n) - sin(n+1)}{2(1-cos(1))}$.
Perciò $S=\frac{sin(1) - cos(xi_n)}{2(1-cos(1))}$ per qualche $n <= xi_n <= n+1$ per il teorema di Lagrange, e allora
$ -0.17 =\leq\frac{sin(1) - 1}{2(1-cos(1))} \leq S \leq \frac{sin(1) + 1}{2(1-cos(1))} \leq 2.01 $.
che si avvicinano molto alle tue stime, anche se non lo sono.
Sia $alpha = e^i = cos(1) + i sin(1)$.
Allora $S := sum_{j=1}^n sin(j) = sum_{j=0}^n Im( e^{ij}) = Im( sum_{j=0}^n alpha^j ) = Im (\frac{1 - alpha^{n+1}}{1-alpha} )$.
Si osservi che se $z=a+bi,w=c+di$ allora $Im(z/w) = frac{bc-ad}{|w|^2}$.
Quindi $S= \frac{Im(1-alpha^{n+1})Re(1-alpha) - Re(1-alpha^{n+1})Im(1-alpha)}{|1-alpha|^2} = \frac{-sin(n+1) (1-cos(1)) + (1-cos(n+1))sin(1)}{2(1-cos(1))} =$$ \frac{sin(1) - sin(n+1) + (sin(n+1) cos(1) - cos(n+1) sin(1))}{2(1-cos(1))} = \frac{sin(1) + sin(n) - sin(n+1)}{2(1-cos(1))}$.
Perciò $S=\frac{sin(1) - cos(xi_n)}{2(1-cos(1))}$ per qualche $n <= xi_n <= n+1$ per il teorema di Lagrange, e allora
$ -0.17 =\leq\frac{sin(1) - 1}{2(1-cos(1))} \leq S \leq \frac{sin(1) + 1}{2(1-cos(1))} \leq 2.01 $.
che si avvicinano molto alle tue stime, anche se non lo sono.
Un altro modo è osservare che $S= \frac{ cos(1/2) - cos(n + 1/2)}{2 sin(1/2)}$ (Dimostrare per induzione!) e allora
$\frac{ cos(1/2) - 1}{2 sin(1/2)} \leq S \leq \frac{ cos(1/2) + 1}{2 sin(1/2)}$ che è la tesi.
$\frac{ cos(1/2) - 1}{2 sin(1/2)} \leq S \leq \frac{ cos(1/2) + 1}{2 sin(1/2)}$ che è la tesi.
okperfetto.grazie
"NightKnight":
allora
$ -0.17 =\leq\frac{sin(1) - 1}{2(1-cos(1))} \leq S \leq \frac{sin(1) + 1}{2(1-cos(1))} \leq 2.01 $.
che si avvicinano molto alle tue stime, anche se non lo sono.
a me risulta che $ \frac{sin(1) + 1}{2(1-cos(1))}$ è circa 3340,18 come fa a venirti minore di $2,01$?
Sicuro? A me risulta che sia $<2.003$. Credo che la tua calcolatrice sia impostata su "deg" (interpreta gli argomenti di seno e coseno come gradi anziché come radianti).
P.S.:
[mod="dissonance"]@NightKnight: Ho apportato una piccola modifica al tuo ultimo messaggio, aggiungendo un \$\$ ad una equazione particolarmente lunga. Adesso il sistema va a capo dopo il terzo simbolo di $=$ e il post sta tutto in una schermata.[/mod]
P.S.:
[mod="dissonance"]@NightKnight: Ho apportato una piccola modifica al tuo ultimo messaggio, aggiungendo un \$\$ ad una equazione particolarmente lunga. Adesso il sistema va a capo dopo il terzo simbolo di $=$ e il post sta tutto in una schermata.[/mod]
@dissonance: Grazie, è che delle volte mi ingarbuglio col tex.
ah si giusto era in gradi la mia calcolatrice!
Una curiosità: dove hai trovato quest'esercizio?
Infatti sarebbe interessante (e credo difficile) determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme $X = \{ \sum_{j=1}^n sin(j) | n \in NN^+ \}$ e capire se $X$ è denso in $[ \text{inf} X, \text{sup} X]$.
Infatti sarebbe interessante (e credo difficile) determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme $X = \{ \sum_{j=1}^n sin(j) | n \in NN^+ \}$ e capire se $X$ è denso in $[ \text{inf} X, \text{sup} X]$.
me l'ha dato il mio prof.
"NightKnight":
Un altro modo è osservare che $S= \frac{ cos(1/2) - cos(n + 1/2)}{2 sin(1/2)}$ (Dimostrare per induzione!)
non capisco come sei riuscito a vederlo? nel senso, dalla formula di $S$ io non riuscirei a vedere che quest'ultima uguaglianza.
"miuemia":
non capisco come sei riuscito a vederlo? nel senso, dalla formula di $S$ io non riuscirei a vedere che quest'ultima uguaglianza.
Mi ricordavo che su un mio libro di analisi c'era una formula per la somma $cos(1) + cos(2) + ... + cos(n)$, quindi sono andato a cercarla e allora smanettando un po' sulla formula che avevo trovato prima $\frac{sin(1) + sin(n) - sin(n+1)}{2(1-cos(1))}$ (usando formule di prostaferesi, di Werner e di bisezione) sono arrivato all'ultima formula.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo