Numeri complessi
Ciao a tutti!
Ragazzi mi spiegate come trovare le radici complesse di questa equazione:
Z^6-7Z^3-8=0
Poichè dopo aver posto Z^3=X, risolto l'equazione di secondo grado e trovato le radici (8;-1),mi blocco non riuscendo a trovare modulo e argomento.
Ragazzi mi spiegate come trovare le radici complesse di questa equazione:
Z^6-7Z^3-8=0
Poichè dopo aver posto Z^3=X, risolto l'equazione di secondo grado e trovato le radici (8;-1),mi blocco non riuscendo a trovare modulo e argomento.
Risposte
Tu cosa faresti? Comunque, prova a porre $w=z^3$ e vedi cosa succede!
dopo aver trovato 8 e -1, ritorni a z: $z^3=8 vv z^3=-1$ ... OK? che faresti a questo punto?
Arrivato a quel punto pongo Z1=sqrt^3(8) e Z2=sqrt^3(-1)
Ma poi non so davvero andare avanti
Ma poi non so davvero andare avanti
queste (2 e -1) sono le uniche due soluzioni reali.
tu però parlavi di soluzioni complesse.
allora le strade sono due: o applichi de Moivre (che è molto più gettonato da chi usa abitualmente i complessi) o scomponi $z^3-8$ e $z^3+1$ come somme o differenze di cubi: la parte "lineare" ti dà le due soluzioni reali e la parte di secondo grado ti dà le complesse coniugate.
spero sia chiaro. scegli un metodo e procedi... anzi ti suggerirei di usarli entrambi per acquisire un po' di padronanza con l'argomento, usando prima il metodo classico (il secondo) e poi ricorrendo a de Moivre.
prova e facci sapere.
P.S. benvenut* nel forum!
tu però parlavi di soluzioni complesse.
allora le strade sono due: o applichi de Moivre (che è molto più gettonato da chi usa abitualmente i complessi) o scomponi $z^3-8$ e $z^3+1$ come somme o differenze di cubi: la parte "lineare" ti dà le due soluzioni reali e la parte di secondo grado ti dà le complesse coniugate.
spero sia chiaro. scegli un metodo e procedi... anzi ti suggerirei di usarli entrambi per acquisire un po' di padronanza con l'argomento, usando prima il metodo classico (il secondo) e poi ricorrendo a de Moivre.
prova e facci sapere.
P.S. benvenut* nel forum!
adaBTTLS
ho provato a risorverlo con entrambi i metodi che mi hai suggerito, ma provando a usare la formula di de Moivre
(cos(argZ)+isen(argZ))^n non ci riesco poichè non sò trovare l'argomento.Col secondo metodo invece tutto OK, ho scomposto le due equazioni e trovato le 4 soluzioni complesse (1+-i sqrt3)/2 e -1+-sqrt3
Grazie 1000 per le tue delucidazioni ma potresti dirmi anche come trovare argZ te ne ancor più grato
ho provato a risorverlo con entrambi i metodi che mi hai suggerito, ma provando a usare la formula di de Moivre
(cos(argZ)+isen(argZ))^n non ci riesco poichè non sò trovare l'argomento.Col secondo metodo invece tutto OK, ho scomposto le due equazioni e trovato le 4 soluzioni complesse (1+-i sqrt3)/2 e -1+-sqrt3
Grazie 1000 per le tue delucidazioni ma potresti dirmi anche come trovare argZ te ne ancor più grato
io non lo uso regolarmente quel metodo, per cui forse non sono la persona più adatta. però de Moivre ti dice che le soluzioni, graficamente, sono ai vertici di un poligono regolare. qui, per ognuno dei casi, hai un triangolo equilatero. un vertice è dato dalla soluzione reale..., quindi:
nel caso di $z^3=8$ le soluzioni hanno modulo 2, una è $(2,0)$, le altre sono a $+-120^o$, $2*(-1/2, +-sqrt(3)/2)-=(-1, +-sqrt3)$, $2*(cos(+-2/3pi) + i * sin(+-2/3pi))$
se quello che chiami argZ è il primo valore dell'angolo, allora è $(2pi)/3$ cioè un terzo dell'angolo giro.
così pure anche per l'altra, però sulla circonferenza quella reale non è la prima:
da $z^3= -1$ sai che le tre soluzioni hanno modulo 1 e, se una ha coordinate $(-1,0)$, le altre due, dovendo formare un triangolo equilatero, sono a $+-60^o$, perché appunto (-1,0) corrisponde a $+-180^o$ sulla circonferenza goniometrica. dunque $(cos(+-60), sin(+-60)) -= (1/2, +-sqrt3/2)$ dunque la prima soluzione è a $pi/3$ e la variabilità è sempre $(2pi)/3$
comunque, argZ=arccos(cos(argZ))=arcsin(sen(argZ)), come li hai chiamati tu.
spero sia chiaro. ciao.
nel caso di $z^3=8$ le soluzioni hanno modulo 2, una è $(2,0)$, le altre sono a $+-120^o$, $2*(-1/2, +-sqrt(3)/2)-=(-1, +-sqrt3)$, $2*(cos(+-2/3pi) + i * sin(+-2/3pi))$
se quello che chiami argZ è il primo valore dell'angolo, allora è $(2pi)/3$ cioè un terzo dell'angolo giro.
così pure anche per l'altra, però sulla circonferenza quella reale non è la prima:
da $z^3= -1$ sai che le tre soluzioni hanno modulo 1 e, se una ha coordinate $(-1,0)$, le altre due, dovendo formare un triangolo equilatero, sono a $+-60^o$, perché appunto (-1,0) corrisponde a $+-180^o$ sulla circonferenza goniometrica. dunque $(cos(+-60), sin(+-60)) -= (1/2, +-sqrt3/2)$ dunque la prima soluzione è a $pi/3$ e la variabilità è sempre $(2pi)/3$
comunque, argZ=arccos(cos(argZ))=arcsin(sen(argZ)), come li hai chiamati tu.
spero sia chiaro. ciao.
adaBTTLS
sei stato chiarissimo grazie di tutto!
Ciao
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Ciao
prego!
ciao.
ciao.
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