Numeri complessi
trovare i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^4 - z=0$
chi mi spiega per gentilezza come si procede per risolvere esercizi di questo genere???
chi mi spiega per gentilezza come si procede per risolvere esercizi di questo genere???
Risposte
Raccogliendo $z$ ottieni $z^3 (z - 1) = 0$. I due numeri complessi cercati (in questo caso hanno parte immaginaria nulla) sono $z = 0$ e $z = 1$.
"Tipper":
Raccogliendo $z$ ottieni $z^3 (z - 1) = 0$. I due numeri complessi cercati (in questo caso hanno parte immaginaria nulla) sono $z = 0$ e $z = 1$.
l'esercizio chiedeva i numeri complessi, non i 2 numeri complessi..scusa, ho sbagliato..ho editato
Scusami, penso di non essere più in grado nemmeno di raccogliere a fattor comune... L'equazione diventa $z (z^3 - 1) = 0$, che ha come soluzioni
$z = 0$
$z = e^{i \frac{2}{3} k \pi}$, $k = 0, 1, 2$
Per risolvere $z^3 = 1$, puoi scrivere il tutto in forma esponenziale. Poni $z = \rho e^{i \theta}$, osservi che $1 = 1 \e^{i 0}$, ottenendo
$\rho^3 e^{i 3 \theta} = 1 e^{i 0}$
ora basta uguagliare
$\rho^3 = 1 \implies \rho = 1$
$3 \theta = 0 + 2 k \pi$, $k = 0, 1, 2$
e da qui si trova la soluzione.
$z = 0$
$z = e^{i \frac{2}{3} k \pi}$, $k = 0, 1, 2$
Per risolvere $z^3 = 1$, puoi scrivere il tutto in forma esponenziale. Poni $z = \rho e^{i \theta}$, osservi che $1 = 1 \e^{i 0}$, ottenendo
$\rho^3 e^{i 3 \theta} = 1 e^{i 0}$
ora basta uguagliare
$\rho^3 = 1 \implies \rho = 1$
$3 \theta = 0 + 2 k \pi$, $k = 0, 1, 2$
e da qui si trova la soluzione.
altri modi non esistono??il professore non ci ha mai spiegato la forma esponenziale
$z^3-1$ si può ulteriormente scomporre come differenza di cubi. le due soluzioni complesse "non reali" si ricavano dal falso quadrato.
$z*(z-1)*(z^2+z+1)=0$
ciao e buon lavoro
$z*(z-1)*(z^2+z+1)=0$
ciao e buon lavoro
e se l'equazione è $z^3=z^2$ come mi devo comportare??
questa è una normale equazione binomia con tutte soluzioni reali:
$z^3-z^2=0$
$z^2*(z-1)=0$
z1=z2=0; z3=1
Non capisco la perplessità... è chiaro che, a priori, non si può essere certi di risolvere qualsiasi tipo di equazione, ma, finché si tratta di binomie, si deve sempre cercare di usare al meglio le scomposizioni: raccoglimento a fattor comune e somme o differenze di potenze di ugual esponente (perché a quel punto il termine di grado più basso è un numero, che quindi può essere visto come potenza n-esima della radice n-esima di se stesso). ciao!
$z^3-z^2=0$
$z^2*(z-1)=0$
z1=z2=0; z3=1
Non capisco la perplessità... è chiaro che, a priori, non si può essere certi di risolvere qualsiasi tipo di equazione, ma, finché si tratta di binomie, si deve sempre cercare di usare al meglio le scomposizioni: raccoglimento a fattor comune e somme o differenze di potenze di ugual esponente (perché a quel punto il termine di grado più basso è un numero, che quindi può essere visto come potenza n-esima della radice n-esima di se stesso). ciao!
ok, capito tutto..grazie
ho questo esercizio: esistono numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^5 +z^3 -z + 2i =0$?
scompongo e ottengo $z^5 + 2i =0$ quindi $z^5 = -2i$ e poi mi calcolo le 5 radici. chi mi dice se sto procedendo correttamente??
grazie
scompongo e ottengo $z^5 + 2i =0$ quindi $z^5 = -2i$ e poi mi calcolo le 5 radici. chi mi dice se sto procedendo correttamente??
grazie
Numeri complessi che risolvono quest'equazione ce ne sono per forza, e sono 5. (Th fondamentale dell'algebra) 
"leffy13":
ho questo esercizio: esistono numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^5 +z^3 -z + 2i =0$?
scompongo e ottengo $z^5 + 2i =0$ quindi $z^5 = -2i$ e poi mi calcolo le 5 radici. chi mi dice se sto procedendo correttamente??
grazie
Come hai scomposto ??
"leffy13":
ho questo esercizio: esistono numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^5 +z^3 -z + 2i =0$?
scompongo e ottengo $z^5 + 2i =0$ quindi $z^5 = -2i$ e poi mi calcolo le 5 radici. chi mi dice se sto procedendo correttamente??
grazie
Se il problema chiede solo di stabilire l'esistenza delle soluzioni allora, come ha detto Gaal, ti basta dire che vale il Teorema Fondamentale dell'Algebra (ovvero che $CC$ è un campo algebricamente chiuso).
Se ti si chiede di determinare effettivamente le soluzioni la vedo più lunga... e soprattutto vorrei capire come hai ottenuto $z^5+2i=0$ da $z^5+z^3-z+2i=0$.
$z(z^4 + z^2 - 1) + 2i =0$ ; $z[z^2(z^2 + 1- 1) + 2i=0$ è sbagliato??
Premetto che non so nulla di numeri complessi per cui potrei sbagliarmi:
Nel secondo passaggio, l'ultimo membro... $z^2*-1=-1$ ?
Nel secondo passaggio, l'ultimo membro... $z^2*-1=-1$ ?
"leffy13":
$z(z^4 + z^2 - 1) + 2i =0$ ; $z[z^2(z^2 + 1- 1) + 2i=0$ è sbagliato??
Manca qualche parentesi...
Potresti provare se per caso $pm i, pm 2i$ sono radici del polinomio (anche se a occhio non mi pare...).
a parte la parentesi quadra... non mi pare che si possa raccogliere $z^2$ nel trinomio che contiene anche -1, e lasciare invariato -1.... hai deciso che $z^2=1$ ? quindi la scomposizione mi sembra errata. penso che non ti sia richiesto di trovare le soluzioni.... vedi intervento di Gugo82.
io, in reltà, quando ho visto la tua richiesta qualche giorno fa (non ho avuto molto tempo!) ho provato a scrivere $z=a+ib$ e a svolgere parecchi calcoli che hanno portato a trovare un numero complesso con una parte reale ed una immaginaria in funzione di $a$ e $b$ da uguagliare entrambe a zero. il risultato, se i calcoli sono esatti, è comunque improponibile. li riscrivo tanto per vedere se qualcuno ha delle osservazioni da fare...!
$a^5-10*a^3*b^2+5*a*b^4+a^3-3*a*b^2-a=0$
$5*a^4*b-10*a^2*b^3+b^5+3*a^2*b-b^3-b+2=0$
ciao.
io, in reltà, quando ho visto la tua richiesta qualche giorno fa (non ho avuto molto tempo!) ho provato a scrivere $z=a+ib$ e a svolgere parecchi calcoli che hanno portato a trovare un numero complesso con una parte reale ed una immaginaria in funzione di $a$ e $b$ da uguagliare entrambe a zero. il risultato, se i calcoli sono esatti, è comunque improponibile. li riscrivo tanto per vedere se qualcuno ha delle osservazioni da fare...!
$a^5-10*a^3*b^2+5*a*b^4+a^3-3*a*b^2-a=0$
$5*a^4*b-10*a^2*b^3+b^5+3*a^2*b-b^3-b+2=0$
ciao.
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