Numeri complessi
ciao! mi aiutate a risolvere questo esercizio sui numeri complessi:
Fattorizzare in R (cioè come prodotto di fattori irriducibili in R) il polinomio
p(x) = x^8 + 1 .
Fattorizzare in R (cioè come prodotto di fattori irriducibili in R) il polinomio
p(x) = x^8 + 1 .
Risposte
Secondo te esiste un numero reale non negativo, cioè $x^8$, che è tale che:
$x^8=-1$?
Io direi di no, quindi il polinomio $x^8+1$ non ha radici in $RR$.
$x^8=-1$?
Io direi di no, quindi il polinomio $x^8+1$ non ha radici in $RR$.
infatti dev'essere risolto con i numeri complessi! era nell'esame di analisi.
Edit: Scusa hai ragione dormivo..
nn preocc 
Onestamente non mi viene in mente altro che trovare le radici n-esime dell'unità e compagnia bella...
Però ci dovrebbe essere in ogni caso qualche osservazione che semplifica le cose...
Però ci dovrebbe essere in ogni caso qualche osservazione che semplifica le cose...
$x^8+1=(x^4+i)(x^4-i)
però poi non mi viene in mente come fattorizzare ancora
son un pò rimba oggi...
però poi non mi viene in mente come fattorizzare ancora
son un pò rimba oggi...
Io scriverei: $x^8+1=x^8+2x^4+1-2x^4=(x^4+1)^2-2x^4=((x^4+1)+sqrt2x^2)((x^4+1)-sqrt2x^2)$
Poi l'ultimo passaggio te lo fai te perchè ci sarà da giocare un po' coi radicali. Ovviamente non puoi scendere sotto al II grado.
Spero ti sia d'aiuto.
Poi l'ultimo passaggio te lo fai te perchè ci sarà da giocare un po' coi radicali. Ovviamente non puoi scendere sotto al II grado.
Spero ti sia d'aiuto.
Bravissimo, una trovata così cercavo...
iusto! prendendo spunto dalla soluzione di Megan00b, puoi fare
$x^8+1=(x^4-i)(x^4+i)=(x^4+1-1-i)(x^4+1-1+i)=((x^2+i)(x^2-i)-1-i)((x^2+i)(x^2-i)-1+i)=
$((x^2+i)(x^2-i))^2-(x^2+i)(x^2-i)-((x^2+i)(x^2-i))i+1-i+i-i^2=((x^2+i)(x^2-i))^2-(x^2+i)(x^2-i)-((x^2+i)(x^2-i))i
ora reitinerando il gioco del +1-1 nelle parentesi arrivi alla fattorizzazione completa.
spero di non aver scritto troppe bruttezze...
$x^8+1=(x^4-i)(x^4+i)=(x^4+1-1-i)(x^4+1-1+i)=((x^2+i)(x^2-i)-1-i)((x^2+i)(x^2-i)-1+i)=
$((x^2+i)(x^2-i))^2-(x^2+i)(x^2-i)-((x^2+i)(x^2-i))i+1-i+i-i^2=((x^2+i)(x^2-i))^2-(x^2+i)(x^2-i)-((x^2+i)(x^2-i))i
ora reitinerando il gioco del +1-1 nelle parentesi arrivi alla fattorizzazione completa.
spero di non aver scritto troppe bruttezze...
si anche perchè l'alternativa era trovare le 8 radici di -1, moltiplicarne i monomi relativi a due a due sperando di trovare coefficienti reali (quindi in media devi fare almeno n tentativi per un polinomio di grado n). Qui sarebbe andata bene perchè si scompone in 4 polinomi di 2° grado ma in generale potevi dover continuare.
Per un polinomio di grado 8 diventa tragica...se me lo dessero ad un compito d'esame consegno in bianco e chiamo la neuro per il prof...
Per un polinomio di grado 8 diventa tragica...se me lo dessero ad un compito d'esame consegno in bianco e chiamo la neuro per il prof...
effettivamente se ci fossero stati altri termini oltre a quello di grado massimo e il termine noto, sarebbe diventata tragica 
come d'altronde è tragico trovare radici reali se ci fossero per un polinomio di quel genere
come d'altronde è tragico trovare radici reali se ci fossero per un polinomio di quel genere
Credo che non abbiate calcolato le radici ottave di -1, altrimenti vi sareste accorti che sono tutte del tipo $+-sqrt(2+-sqrt2) /2 +- i sqrt(2-+sqrt2) /2$ ed è molto facile trovare le combinazioni che danno la scomposizione nei reali.
ok... divertiti buoni calcoli. cmq io preferisco gli sporchi trucchetti!!!
cmq io preferisco gli sporchi trucchetti!!!
Allora ti posto tutti i miei calcoli,
$cos pi/8 +i sin pi/8= sqrt (2+sqrt2)/2 + i sqrt (2-sqrt2)/2$, la successiva è dopo $pi/4$ quindi simmetrica rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, quindi $sqrt (2-sqrt2)/2 + i sqrt (2+sqrt2)/2$, le successive sono simmetriche rispetto ad y, poi basta simmetrizzare tutto rispetto ad x.
In pratica la scomposizione completa è $(x^2+x sqrt (2+sqrt2)+1)*(x^2-x sqrt (2+sqrt2)+1)*(x^2+x sqrt (2-sqrt2)+1)*(x^2-x sqrt (2-sqrt2)+1)$
Ti assicuro che sulla carta l'unico calcolo in più rispetto a quelli postati è stata la verifica del prodotto, che mi sta tutta su una riga
$cos pi/8 +i sin pi/8= sqrt (2+sqrt2)/2 + i sqrt (2-sqrt2)/2$, la successiva è dopo $pi/4$ quindi simmetrica rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, quindi $sqrt (2-sqrt2)/2 + i sqrt (2+sqrt2)/2$, le successive sono simmetriche rispetto ad y, poi basta simmetrizzare tutto rispetto ad x.
In pratica la scomposizione completa è $(x^2+x sqrt (2+sqrt2)+1)*(x^2-x sqrt (2+sqrt2)+1)*(x^2+x sqrt (2-sqrt2)+1)*(x^2-x sqrt (2-sqrt2)+1)$
Ti assicuro che sulla carta l'unico calcolo in più rispetto a quelli postati è stata la verifica del prodotto, che mi sta tutta su una riga
Sì ok non lo metto in dubbio ma io sono contofobo: quando vedo un calcolo tento sempre di aggirarlo, per principio. E poi altrimenti che ci stanno a fare gli ingegneri?:D
"Megan00b":
Sì ok non lo metto in dubbio ma io sono contofobo: quando vedo un calcolo tento sempre di aggirarlo, per principio. E poi altrimenti che ci stanno a fare gli ingegneri?:D
Hai ragione! Comunque sono una contofoba anch'io, ma lavorare con le simmetrie mi diverte molto.
PS Quando posso, per i calcoli, sfrutto anch'io gli ingegneri, compreso il marito e i colleghi.
ok ragazzi grazie a tutti
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