Numeri complessi\

[Sk_Anonymous]

Stò cercando di rappresentare l'insieme dei numeri complessi:

(z+1)^5=1

secondo voi quanto viene?

[elgiovo]

Questi numeri complessi si rappresentano nel piano di Argand-Gauss come i vertici di un pentagono centrato nel punto $(0,1)$.

[Sk_Anonymous]

scusa potresti farmi vedere come ci sei arrivato???
il pentagono di cui parli è inscritto nella circonferenza di raggio = 1?

[elgiovo]

In realtà ho sbagliato. Il pentagono dovrebbe essere centrato in $(0,-1)$, ed è iscritto in una circonferenza di raggio 1. Le radici dell'equazione le trovi con la formula di DeMoivre. Che le radici n-esime di un complesso si dispongano a n-agono regolare è un risultato noto.

[Sk_Anonymous]

scusa ma io ero abituato ad usare de moivre su num. complessi del tipo Z=2+3i

come faccio ad usarlo qui con (z+1)^5??

il rò dovrebbe essere = sqrt(x2+y2+2xyi+1)

potresti mostrarmi come si applica in questi casi....

grazie infinite per l'interessamento

[elgiovo]

Con la sostituzione $w=z+1$ ti ritrovi a calcolare banalmente le radici 5e dell'unità. Ma l'unità, nonchè il numero 1, ha $rho=1$ e $theta=0$, perciò applicando la formula di De Moivre, $w=1^(1/5)[cos ((2k pi)/5) + i sin ((2kpi)/5)]$, con $n=0,1,ldots,4$. Trovi le soluzione all'equazione originaria tenendo presente che $z=w-1$.

[Sk_Anonymous]

L'insieme dei complessi cercato altro non è che l'insieme delle soluzioni dell'equazione...

$(z+1)^5=1$ (1)

Operando la sostituzione $w=z+1$ l'equazione diviene...

$w^5=1$ (2)

Le soluzioni della (2) saranno...

$w_k= e^(j*2*pi*k/5)$, $k=0,1,...4$ (3)

Di conseguenza l'insieme della $z$ che soddisfano la (1) sarà...

$z_k= e^(j*2*pi*k/5)-1$, $k=0,1,...,4$ (4)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[elgiovo]

Il ragionamento è analogo al mio, solo che lupo grigio fa uso della notazione esponenziale. L'importante è che tu capisca che 1 è un numero complesso, che la sua lunghezza è unitaria e che forma un angolo di 0 gradi con l'asse reale.

[vl4dster]

@duo:

"elgiovo": $w=1^(1/5)(cos (2k pi)/5 + i sin (2kpi)/5)$

so che lo sai, ma occhio che mathML fa brutti scherzi sarebbe $cos ((2k pi)/5)$

[elgiovo]

Ho corretto. Grazie Vl4d

[Sk_Anonymous]

grazie a tutti ragazzie ho capito tutto, diciamo che il mio errore consisteva nel nn vedere 1 cme numero complesso
e quindi ero portato a dire che la radice di 1 era 1....

Grazie a tutti cmq....