Numeri complessi

[baka1]

Ciao, ho un problema con i numeri complessi

$z = 1/(3 + 3i)$ devo metterlo in forma trigonometrica ed esponenziale,
è ugualmente corretto scriverlo cosi $1/sqrt(18)*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))$ ?

[_Tipper]

Va bene.

[baka1]

Ok, grazie
perchè mi dava $sqrt(2)/6(cos(-pi/4) + isin(-pi/4))$ e non sapevo se anche il mio era giusto, ciao

[_Tipper]

Forse perché $\frac{1}{\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$?

[baka1]

Ciao,
non capisco questo $z = 2/(sqrt(3) - i) + 1/i$, in forma esponenziale $e^(-ipi/6)$
ma quanto vale $z^(22)$ ?

[_Tipper]

Se $z=e^{-i\frac{\pi}{6}}$ allora $z^{22}=e^{-i\frac{22\pi}{6}}$

[baka1]

Quello che pensavo anchio,
ma mi da come risultato $e^(ipi/3)$, forse neanche questa volta vedo che sono lo stesso numero

[_nicola de rosa]

"baka":Quello che pensavo anchio,
ma mi da come risultato $e^(ipi/3)$, forse neanche questa volta vedo che sono lo stesso numero

$e^(-i*22/6)=e^(-i*11/3)=e^(i*(-4pi+pi/3))=e^(i*pi/3)$ vista la periodicità di $i*2kpi,k in Z$ dell'esponenziale complesso

poi
$z = 2/(sqrt(3) - i) + 1/i=(sqrt3-i+2i)/(i*(sqrt3-i))=(sqrt3+i)/(1+i*sqrt3)$
Ora $sqrt3+i=2*e^(i*pi/6),1+i*sqrt3=2*e^(i*pi/3)$ per cui
$z = 2/(sqrt(3) - i) + 1/i=(sqrt3-i+2i)/(i*(sqrt3-i))=(sqrt3+i)/(1+i*sqrt3)=(e^(i*pi/6))/(e^(i*pi/3))=e^(-i*pi/6)$

[baka1]

Grazie,
avevo dimenticato la periodicità dell'esponenziale

adesso però non so come comportarmi con questa equazione $z|z| - 2z + i = 0$?
Inizialmente avevo pensato di considerare i due casi $z >= 0$ e $z < 0$,
però in $CC$ non valgono le relazioni d'ordine quindi non so neanche da dove iniziare

[Camillo]

Prova ad usare la forma esponenziale dei numeri complessi ponendo $z = rho*e^(i*theta) $ e quindi $ |z | = rho $ ; e di conseguenza : $ i = e^(i*pi/2) $ .

Otterrai $ rho^2*e^(i*theta)-2*rho*e^(i*theta) +e^(i*pi/2) =0 $ che ti conviene riscrivere come : $ (rho^2-2*rho)*e^(i*theta) = -1*e^(i*pi/2) $ .....

[_nicola de rosa]

fornisco un modo alternativo. riscrivo l'equazione in tal modo:
$z(|z|-2)+i=0->z(|z|-2)=-i$.
Ora si nota che, essendo $|z|: z in C->RR$ allora $|z|-2$ è un numero relae e quindi affinchè sia soddisfatta quell'equazione deve aversi $z$ puramente immaginario, cioè $z=i*beta,beta in RR$. Quindi, avendo intuito ciò l'equazione diventa:
$i*beta*(|beta|-2)+i=0->(beta*|beta|-2beta+1)*i=0->beta*|beta|-2beta+1=0$
Ora se $beta>=0->|beta|=beta$ e l'equazione diventa $beta^2-2beta+1=(beta-1)^2=0->beta=1$ che è accettabile, per cui una soluzione è $z=i$.
Ora se $beta<0->|beta|=-beta$ e l'equazione diventa $beta^2+2beta-1=0->beta=(-1+-sqrt2)$ e solo $beta=-1-sqrt2$ è accettabile perchè minore di zero. Per cui un'altra soluzione è $z=i(-1-sqrt2)$.

Le soluzioni in conclusione sono $z=i,z=i*(-1-sqrt2)$