Numeri complessi
Scusate se mi rifaccio vivo dopo tanto tempo ma ho passato l'estate a preparare gli esami di fisica e che per mia fortuna sono andati mediamente bene (25 e 29).
Vorrei provare a fare il "botto" finale provando a passare anche l'esame di Analisi2, ma su alcuni argomenti mi trovo veramente spiazzato! L'esame ci sarebbe sabato 16 e il 30 di settembre, proverò a darli entrambi speriamo bene. Quindi vi chiedo scusa in anticipo se passerò qui buona parte della mia giornata.
Inizio con un po' di domande su alcuni esercizi che non sono riuscito a svolgere:
il primo è:
Il Max {$|z|^2 : (z-2)^3 = -1 $} vale:
La risposta è 7
Ora la cosa sembrerebbe abbastanza semplice, solo che mi sfugge qualcosa, per prima cosa il mio professore mi ha consigliato prima di risolvere $omega^3 = -1$ cosa che ho fatto applicando la regola $omega_k = ^n sqrt |z| e^(i (theta/n + 2k pi / n))$ e nel caso specifico avrei che:
$omega_1 = e^(i0) = 1$ $ omega_2 = e^(i2/3 pi)$ $ omega_3 = e^(i 4/3 pi) $
Bene ora mi si consiglia sempre di rieseguire i calcoli con $omega = z-2$ ma non ho idea di come fare... nel senso non saprei cosa sostituire e dove! Lo so che deve essere una stupidagine, ma non vedo la soluzione!
Poi altro esercizio che mi sta facendo dannare è questo:
Il perimetro del poligono di vertici ${z in CC : (bar z - 1)^4 = 4 sqrt2 / |z -1|}$ il risultato è 8
Qui molto probabilmente è un altra stupidagine. Allora quello che so è che il poligono in questione è un quadrato, poi so che $|bar z -1| = |z -1| $
sulla base di questo ho pensato che bastava sostituire $bar z - 1 = omega$ e $|z-1| = omega$ e di conseguenza l'equazione diventa:
$ omega^5 = 4 sqrt 2$ per trovare il lato del quadrato prima mi serve il raggio della circonferenza in cui è circoscritto $ r = (|4 sqrt 2|)^(1/5) $ e da qui ricavo il raggio del quadrato $ sqrt2 r = sqtr2 (|4 sqrt 2|)^(1/5) = 2$ il perimetro quindi verrebbe anche giusto... quello che mi domando è, quello che ho fatto è corretto? Oppure è solo una coincidenza ?
Grazie ancora e scusate se scrivo tanto....
Vorrei provare a fare il "botto" finale provando a passare anche l'esame di Analisi2, ma su alcuni argomenti mi trovo veramente spiazzato! L'esame ci sarebbe sabato 16 e il 30 di settembre, proverò a darli entrambi speriamo bene. Quindi vi chiedo scusa in anticipo se passerò qui buona parte della mia giornata.
Inizio con un po' di domande su alcuni esercizi che non sono riuscito a svolgere:
il primo è:
Il Max {$|z|^2 : (z-2)^3 = -1 $} vale:
La risposta è 7
Ora la cosa sembrerebbe abbastanza semplice, solo che mi sfugge qualcosa, per prima cosa il mio professore mi ha consigliato prima di risolvere $omega^3 = -1$ cosa che ho fatto applicando la regola $omega_k = ^n sqrt |z| e^(i (theta/n + 2k pi / n))$ e nel caso specifico avrei che:
$omega_1 = e^(i0) = 1$ $ omega_2 = e^(i2/3 pi)$ $ omega_3 = e^(i 4/3 pi) $
Bene ora mi si consiglia sempre di rieseguire i calcoli con $omega = z-2$ ma non ho idea di come fare... nel senso non saprei cosa sostituire e dove! Lo so che deve essere una stupidagine, ma non vedo la soluzione!
Poi altro esercizio che mi sta facendo dannare è questo:
Il perimetro del poligono di vertici ${z in CC : (bar z - 1)^4 = 4 sqrt2 / |z -1|}$ il risultato è 8
Qui molto probabilmente è un altra stupidagine. Allora quello che so è che il poligono in questione è un quadrato, poi so che $|bar z -1| = |z -1| $
sulla base di questo ho pensato che bastava sostituire $bar z - 1 = omega$ e $|z-1| = omega$ e di conseguenza l'equazione diventa:
$ omega^5 = 4 sqrt 2$ per trovare il lato del quadrato prima mi serve il raggio della circonferenza in cui è circoscritto $ r = (|4 sqrt 2|)^(1/5) $ e da qui ricavo il raggio del quadrato $ sqrt2 r = sqtr2 (|4 sqrt 2|)^(1/5) = 2$ il perimetro quindi verrebbe anche giusto... quello che mi domando è, quello che ho fatto è corretto? Oppure è solo una coincidenza ?
Grazie ancora e scusate se scrivo tanto....
Risposte
Per il primo esercizio , i tuoi valori di $ omega_1, omega_2, omega_3 $ non sono corretti.
Risulta $ omega_1= e^(ipi/3)$ ; $ omega_2 = e^(i*pi)$ ; $omega_3 = e^(i*5*pi/3)$.
Considerando il primo valore abbiamo : $ z-2 = e^(i*pi/3) = cos(pi/3)+isin(pi/3) = 1/2+isqrt(3)/2 $ da cui infine : $ z=5/2+i*sqrt(3)/2 $ avendo convertito i numeri complessi dalla notazione esponenziale a quella trigonometrica ( se devi fare somme e sottrazioni è meglio , se devi invece fare moltiplicazioni o divisioni allora la notazione esponenziale è adattissima) etc. etc .
Risulta $ omega_1= e^(ipi/3)$ ; $ omega_2 = e^(i*pi)$ ; $omega_3 = e^(i*5*pi/3)$.
Considerando il primo valore abbiamo : $ z-2 = e^(i*pi/3) = cos(pi/3)+isin(pi/3) = 1/2+isqrt(3)/2 $ da cui infine : $ z=5/2+i*sqrt(3)/2 $ avendo convertito i numeri complessi dalla notazione esponenziale a quella trigonometrica ( se devi fare somme e sottrazioni è meglio , se devi invece fare moltiplicazioni o divisioni allora la notazione esponenziale è adattissima) etc. etc .
Grazie Camillo ho capito dove sbagliavo. Anche se devo dire che le dispense che mi hanno dato non è che mi aiutavano parecchio.
Ancora grazie ciao
Ancora grazie ciao
ho mandato lo svolgimento del secondo esercizio al mio professore, e mi ha detto che è corretto, anche se non ne sono molto convinto, oggi dopo pranzo ci vado a parlare e scrivo qui la spiegazione.
Saluti
Iacopo
Saluti
Iacopo
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