Numeri complessi
Ciao,
mi trovo davanti ad equazioni ad incognita complessa da risolvere esclusivamente con la forma esponenziale. Potete darmi qualche suggerimento?
$z-|z|+z^2-1=0$
Riscrivendo l'equazione in forma esponenziale, posto $|z|=\rho$ e $Arg(z)=\theta$, mi risulta:
$\rhoe^(i\theta)-\rho+\rho^2e^(i2\theta)=e^(i\pi)$
A questo punto, di solito, faccio un sistema di due equazioni: una che contenga il modulo, l'altra che contenga l'anomalia... ma in questo caso non pare banalissimo.
mi trovo davanti ad equazioni ad incognita complessa da risolvere esclusivamente con la forma esponenziale. Potete darmi qualche suggerimento?
$z-|z|+z^2-1=0$
Riscrivendo l'equazione in forma esponenziale, posto $|z|=\rho$ e $Arg(z)=\theta$, mi risulta:
$\rhoe^(i\theta)-\rho+\rho^2e^(i2\theta)=e^(i\pi)$
A questo punto, di solito, faccio un sistema di due equazioni: una che contenga il modulo, l'altra che contenga l'anomalia... ma in questo caso non pare banalissimo.
Risposte
Prova a sostituire $z=x+iy$, e poi alla fine imponi parte reale e immaginaria uguale a zero.
"Ernesto01":
Prova a sostituire $z=x+iy$
Non posso... sono esercizi in cui applicare appositamente la forma trigonometrica, non quella algebrica.
Qualcuno può aiutarmi gentilmente?
Forse potrebbe essere utile constatare che, riscrivendo l'equazione nella forma: $z^2+z=|z|+1" "$, il secondo membro risulta reale, per cui dev'essere:
Ottieni subito alcune possibilità ( $rho=0$, non accettabile, e $sinvartheta=0$ , da approfondire), e poi l'ulteriore: $cosvartheta=-1/(2rho)$ . Che a questo punto puoi sostituire a ritroso nell'equazione, ottenendone una nella sola variabile $rho$ . Equazione che, se non vedo male, non dovrebbe avere soluzioni. Ma posso ovviamente sbagliare.
$Im{z^2+z}=0" "to" "rho^2sin 2vartheta+rho sinvartheta=0" "$.
Ottieni subito alcune possibilità ( $rho=0$, non accettabile, e $sinvartheta=0$ , da approfondire), e poi l'ulteriore: $cosvartheta=-1/(2rho)$ . Che a questo punto puoi sostituire a ritroso nell'equazione, ottenendone una nella sola variabile $rho$ . Equazione che, se non vedo male, non dovrebbe avere soluzioni. Ma posso ovviamente sbagliare.
Ciao Antinomio,
A parte il fatto che queste limitazioni mi sembrano assurde, perché normalmente le equazioni complesse si risolvono utilizzando la strategia migliore per evitare di complicarsi inutilmente la vita, comincerei con l'osservare che $z = 1 $ è senz'altro una soluzione dell'equazione proposta. Per trovare l'altra soluzione reale approfondirei l'idea di Palliit, e dato che da $sin\vartheta = 0 \implies \vartheta = 0 $ o $\vartheta = \pi $ (poi si ripetono) è chiaro che $\vartheta = 0 $ corrisponde alla soluzione reale $z = 1 $, per cui per trovare l'altra non ti resta che vedere cosa accade per $\vartheta = \pi $...
"Antinomio":
Non posso... sono esercizi in cui applicare appositamente la forma trigonometrica, non quella algebrica.
A parte il fatto che queste limitazioni mi sembrano assurde, perché normalmente le equazioni complesse si risolvono utilizzando la strategia migliore per evitare di complicarsi inutilmente la vita, comincerei con l'osservare che $z = 1 $ è senz'altro una soluzione dell'equazione proposta. Per trovare l'altra soluzione reale approfondirei l'idea di Palliit, e dato che da $sin\vartheta = 0 \implies \vartheta = 0 $ o $\vartheta = \pi $ (poi si ripetono) è chiaro che $\vartheta = 0 $ corrisponde alla soluzione reale $z = 1 $, per cui per trovare l'altra non ti resta che vedere cosa accade per $\vartheta = \pi $...
Innanzitutto grazie Pallit e Pilloeffe per avermi aiutato.
Quindi, per $\vartheta = \pi$ risulta: $\rho^2\cos2\pi+\rho\cos\pi=\rho+1$. Poiché $\cos\pi=-1$ e $\cos2\pi=1$ allora $\rho^2-2\rho-1=0$, da cui $\rho_{1,2}=1+-sqrt{2}$. Solo $\rho=1+sqrt{2}$ è accettabile.
"Palliit":
Forse potrebbe essere utile constatare che, riscrivendo l'equazione nella forma: $z^2+z=|z|+1" "$, il secondo membro risulta reale, per cui dev'essere:
$Im{z^2+z}=0" "to" "rho^2sin 2vartheta+rho sinvartheta=0" "$.
"pilloeffe":
[...] comincerei con l'osservare che $z = 1$ è senz'altro una soluzione dell'equazione proposta. Per trovare l'altra soluzione reale approfondirei l'idea di Palliit, e dato che da $sin\vartheta = 0 \implies \vartheta = 0 $ o $\vartheta = \pi $ (poi si ripetono) è chiaro che $\vartheta = 0 $ corrisponde alla soluzione reale $z = 1 $, per cui per trovare l'altra non ti resta che vedere cosa accade per $\vartheta = \pi $...
Quindi, per $\vartheta = \pi$ risulta: $\rho^2\cos2\pi+\rho\cos\pi=\rho+1$. Poiché $\cos\pi=-1$ e $\cos2\pi=1$ allora $\rho^2-2\rho-1=0$, da cui $\rho_{1,2}=1+-sqrt{2}$. Solo $\rho=1+sqrt{2}$ è accettabile.
"Antinomio":
... e $z_2=1+sqrt{2}$
No. E': $" "rho=1+sqrt(2)" "$e$" "vartheta=pi" "$, vedi un po' bene cosa salta fuori.
E verifica fino in fondo il fatto che la possibilità:$" "cos vartheta=-1/(2 rho)" "$non sia accettabile, che ho fatto i conti a mente.
Ops, è vero. Quindi:
$z_1=1$ e $z_2=-1-sqrt(2)$
$z_1=1$ e $z_2=-1-sqrt(2)$
"Antinomio":
Quindi:
$z_1=-1$ e $z_2=-1-sqrt(2)$
No:$" "z_1=+1" "$e$" "z_2=-1-sqrt(2)" "$.
"Antinomio":
Quindi: $z_1=−1 $ e $z_2=−1−\sqrt{2}$
No, le uniche due soluzioni dell'equazione complessa proposta sono $z_1 = 1 $ e $z_2 = - 1 - \sqrt{2} $
Per convincertene facilmente, prova a sostituire $z = - 1 $ nell'equazione iniziale...
Ho corretto, grazie mille. 
Errore di distrazione...
Conoscete qualche buon libro che tratti le equazioni in campo complesso in modo più approfondito?
Errore di distrazione...Conoscete qualche buon libro che tratti le equazioni in campo complesso in modo più approfondito?
"Antinomio":
Conoscete qualche buon libro che tratti le equazioni in campo complesso in modo più approfondito
Mah, i miei risalgono al Paleolitico inferiore, quindi eviterei di consigliarteli, anche perché molto probabilmente non li troveresti...
Però potresti cercare su questo stesso sito con parole chiave tipo "Equazione complessa", dovresti riuscire a trovare diverso materiale: io stesso ricordo distintamente di aver aiutato a risolverne parecchie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo