Numeri complessi

[RenoFranco]

Buonasera ho dei problemi a risolvere questo esercizio, non capisco quale procedimento applicare:

In quanti punti si intersecano gli insiemi A e B definiti da

$A := {||z-sqrt(2e)^(i\pi/4)|| = 1 }$

$B := {||z-sqrt(2e)^(i3\pi/4)|| = 2 }$

La soluzione è 2.

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[feddy]

Prova innanzitutto a visualizzare prima $A$ ($B$ si fa allo stesso modo).
In particolare, $sqrt(2e)^(i \pi/4)=2e^(i \pi/8)$. Questo è l'insieme dei punti del piano complesso che distano $1$ da $z_0=sqrt(2e)^(i \pi/4)$. Analoagamente si fa per $B$. Come andresti avanti?

[RenoFranco]

Quindi di conseguenza $B$ è l'insieme di punti che distano $2$ da $sqrt(2e)^(i3\pi/4)$.
I due numeri complessi hanno lo stesso modulo e diverso argomento, ma non riesco a capire cosa racchiudono gli insiemi $A$ e $B$.

[feddy]

Una strategia (non sono sicuro sia la più breve) potrebbe essere quella di scrivere $z=x+iy$, sviluppare il modulo e scrivere le equazioni delle due circonferenze. Poi il gioco è fatto.

[pilloeffe]

Ciao RenoFranco,

Accoglierei il suggerimento di feddy dopo aver osservato che

$sqrt{2e}e^{i frac{\pi}{4}} = (1 + i)sqrt{e}$

e

$sqrt{2e}e^{i frac{3\pi}{4}} = (-1 + i)sqrt{e}$

Troverai le equazioni di due circonferenze, poi...

[RenoFranco]

Sono ancora lontano dalla soluzione, non ho capito come posso ricavare l'equazione delle due circonferenze.
Se considero il modulo sono sono due circonferenze concentriche e quindi non si incontreranno mai, sono in alto mare...

[@melia]

La due circonferenze NON sono concentriche, i centri hanno la stessa ordinata, ma ascisse opposte. A proposito non capisco la presenza di $sqrt e$, a me i centri vengono $1+i$ e $1-i$, per cui la loro distanza è $2$ che è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza, quindi le circonferenze si incontrano in due punti.

[pilloeffe]

Ciao melia,

"@melia":A proposito non capisco la presenza di $\sqrt{e}$,

Pardon, errore mio, ho visto una $e$ che non c'era...