Numerabilità, finitezza e punti di accumulazione di un insieme
Buongiorno a tutti, ho incontrato questo simpatico esercizio che chiede:
Per la prima domanda, il valore di $\alpha$ deve essere necessariamente uguale a $0$, visto che avremmo un numero finito di valori, dato che si prende ogni volta la parte intera.
Per la seconda domanda, onestamente io metterei per ogni $\alpha$, mentre il risultato mette per ogni $\alpha$ diverso da $0$. Ma un insieme finito è numerabile, o mi sono perso qualcosa?
Per quanto riguarda l'insieme dei punti di accumulazione in $A_1$ per come è la funzione direi $2$ e $3$, ma è una cosa buttata lì onestamente...
Si considerino le due successioni
$a_n=[2sin((npi)/3)]$, $b_n= 3n^3(1/(n+1)-arctan(1/n+1))$
dove $[.]$ indica la parte intera. Si consideri l'insieme $A_\alpha = {a_n+\alphab_n: n in mathbb(N)}$ al variare di $\alpha in mathbb(R)$.
Per quali valori di $\alpha$ l'insieme $A_\alpha$ è finito?
Per quali valori di $\alpha$ l'insieme $A_\alpha$ è numerabile?
Qual è l'insieme dei punti di accumulazione di $A_1$?
Per la prima domanda, il valore di $\alpha$ deve essere necessariamente uguale a $0$, visto che avremmo un numero finito di valori, dato che si prende ogni volta la parte intera.
Per la seconda domanda, onestamente io metterei per ogni $\alpha$, mentre il risultato mette per ogni $\alpha$ diverso da $0$. Ma un insieme finito è numerabile, o mi sono perso qualcosa?
Per quanto riguarda l'insieme dei punti di accumulazione in $A_1$ per come è la funzione direi $2$ e $3$, ma è una cosa buttata lì onestamente...
Risposte
Un insieme numerabile si può mettere in corrispondenza biunivoca con $NN$, dunque è necessariamente infinito.
Perciò un insieme finito non può essere numerabile.
Perciò un insieme finito non può essere numerabile.
Okay. E per quanto riguarda i punti di accumulazione?
“Butti lì” qualcosa e speri che altri la ripongano nel cestino corretto? Non funziona così. 
Perché hai “buttato lì” quella risposta?
Illustra il tuo ragionamento, così capiamo insieme se fila o no.
Perché hai “buttato lì” quella risposta?
Illustra il tuo ragionamento, così capiamo insieme se fila o no.
Ho provato ad applicare la definizione di punto di accumulazione, ovvero
Per cui ho supposto che dato che i numeri $2$ e $3$ sono dei parametri che vengono modificati in base al valore di $n$, se prendo un intorno per questi due numeri dovrei trovare dei punti appartenenti ad $A_1$. Ma onestamente mi sembra un ragionamento senza senso...
Sia $E sub mathbb(R)$ e sia $x_0 in mathbb(R)$, diciamo che $x_0$ è un punto di accumulazione di $E$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un punto di $x in E$, diverso da $x_0$.
Per cui ho supposto che dato che i numeri $2$ e $3$ sono dei parametri che vengono modificati in base al valore di $n$, se prendo un intorno per questi due numeri dovrei trovare dei punti appartenenti ad $A_1$. Ma onestamente mi sembra un ragionamento senza senso...
Appunto. È proprio sparato a caso.
Tirare ad indovinare non è un male assoluto (in Matematica, come nella vita), ma bisogna allenare l’intuizione per ottenere degli educated guess.
Come è legato il concetto di p.d.a. alle successioni?
Ed alle successioni estratte?
Tirare ad indovinare non è un male assoluto (in Matematica, come nella vita), ma bisogna allenare l’intuizione per ottenere degli educated guess.
Come è legato il concetto di p.d.a. alle successioni?
Ed alle successioni estratte?
Un punto è di accumulazione per una successione se esiste una sottosuccessione convergente a tale punto se non erro (o se è quello che intendevi)
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