Notazione serie numeriche

[marco032]

ciao a tutti ho difficoltà con le notazioni sulle serie
sia (a_n) una successione di numeri reali, poniamo
$S_0=a_0
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S_n=a_0+...+a_n=sum_(k=0)^(n) a_k$ per ogni n in N, $n>=2$
tale numero reale $S_n$ si chiama somma parziale n-sima
Si chiama serie numerica di termine generale $a_n$ la successione delle somme parziali $(S_n)_(ninN$ e tale successione si denota con la $sum_(n=0)^(oo) a_n$
Poi dice che la serie numerica è convergente se esiste $lim n->oo S_n= s in R$ tale $s in R$ si chiama la somma della serie e si denota con il simbolo $s=sum_(n=0)^(n) a_n$ qui non ho capito perché $(S_n)_ninN$ e $s$ sono entrambi uguali alla stessa sommatoria?

Poi la dimostrazione che ho della condizione necessaria della convergenza è uguale a questa https://www.****.it/forum/analisi-1/ ... auchy.html
Perché il limite di $S_(n-1)$ è uguale a s ?
grazie

[otta96]

Nella prima formula è $S_n$, non $S_0$ e nell'ultima sopra la sommatoria ci va $\infty$, non $n$.

[marco032]

ho posto
$S_0= a_0$
$S_1=a_0+a_1$
$...$
$S_n=a_0+a_1+...+a_n$
$...$
e il termine generale $S_n=sum_(k=0)^n a_k$

dici questa: $s=sum_(n=0)^(+oo) an$ ?ancora restano uguali però.
dice che $(S_n)_(ninN)=sum_(n=0)^(+oo) an$ ma anche $lim S_n=s=sum_(n=0)^(+oo) an$ no?
e per il limite di S_(n-1)?

[Mephlip]

"marco03":
Perché il limite di $S_(n-1)$ è uguale a s ?

Perché vale l'uguaglianza $\lim_{n\to+\infty}S_{n-1}=\lim_{n\to+\infty}S_n$. Per convincertene, ragiona prima intuitivamente: che significa che $\lim_{n \to +\infty} S_n=s$? Significa che, da un certo $n$ in avanti, $S_n$ diventa arbitrariamente vicina a $s$. Quindi, intuitivamente, se consideri $n-1$ anziché $n$ le cose non cambieranno: basterà prendere $n$ un pochino più grande e ottenere lo stesso limite anche per $S_{n-1}$.

Dimostriamolo rigorosamente: per ipotesi $\lim_{n \to +\infty} S_n =s$, quindi per ogni $\epsilon>0$ esiste $N_\epsilon \in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, $[n>N_\epsilon] \implies [|S_n-s|<\epsilon]$. Poniamo $T_\epsilon=N_\epsilon+1$. Se $n>T_\epsilon$, allora $n-1>T_\epsilon-1=N_\epsilon$. Quindi, è $n-1>N_\epsilon$ e allora, per l'ipotesi di limite, segue $|S_{n-1}-s|<\epsilon$. Perciò, per ogni $\epsilon>0$ esiste $T_\epsilon \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, $[n>T_\epsilon] \implies [|S_{n-1}-s|<\epsilon]$. Ciò significa $\lim_{n\to+\infty} S_{n-1}=s$.

Osserva che se $n_0 \in \mathbb{N}$ è fissato, questo ragionamento funziona per qualsiasi traslazione dell'indice della successione $S_{n+n_0}$: ossia, se esiste $\lim_{n\to+\infty}S_n$ allora per ogni $n_0 \in \mathbb{N}$ fissato risulta $\lim_{n \to +\infty} S_{n+n_0}=\lim_{n\to+\infty}S_n$.

[marco032]

ok ora ho capito
ti ringrazio per l'aiuto