Notazione di una funzione
Salve,
vorrei chiedere un chiarimento (forse banale) su una notazione che non comprendo e che mi ha messo un attimo in crisi.
premessa: funzioni prese da un'equazione differenziale.
Cosa vuol dire la notazione di una funzione così:
$u^2(t)$
cosa comporta mettere a potenza una funzione? non è la notazione di derivata di solito messa con $u''(t)$.
e di più, la sua derivata prima cosa diventa?
Ringrazio chi aiuta :)
vorrei chiedere un chiarimento (forse banale) su una notazione che non comprendo e che mi ha messo un attimo in crisi.
premessa: funzioni prese da un'equazione differenziale.
Cosa vuol dire la notazione di una funzione così:
$u^2(t)$
cosa comporta mettere a potenza una funzione? non è la notazione di derivata di solito messa con $u''(t)$.
e di più, la sua derivata prima cosa diventa?
Ringrazio chi aiuta :)
Risposte
Di solito [tex]$u^2(t)=[u(t)]^2=u(t)\cdot u(t)$[/tex]... Ed in generale [tex]$u^\alpha (t)=[u(t)]^\alpha$[/tex].
Ad esempio, [tex]$\sin^2 t$[/tex] vuol dire che il seno di [tex]$t$[/tex] è elevato al quadrato.
Per le derivate si usa al massimo la notazione [tex]$u^{(n)} (t)$[/tex] per denotare la derivata [tex]$n$[/tex]-esima, ossia [tex]$u^{(n)}(t):=\frac{\text{d}^n u}{\text{d} t^n}(t)$[/tex].
Ad esempio, [tex]$\sin^2 t$[/tex] vuol dire che il seno di [tex]$t$[/tex] è elevato al quadrato.
Per le derivate si usa al massimo la notazione [tex]$u^{(n)} (t)$[/tex] per denotare la derivata [tex]$n$[/tex]-esima, ossia [tex]$u^{(n)}(t):=\frac{\text{d}^n u}{\text{d} t^n}(t)$[/tex].
ah tutto qui...pensavo chissà che costrutti di funzioni.
perfetto, ti ringrazio tutto chiaro
perfetto, ti ringrazio tutto chiaro
A dire il vero, nonostante quasi sempre $u^2(t)$ venga poi interpretato come dice gugo82, la notazione corretta per l'elevamento a potenza sarebbe con la parentesi:
$ [u(t)]^2 = u(t) \cdot u(t) , \qquad [u(t)]^n = u(t) \ldots u(t)$,
perché il simbolo $u^n(t)$ è riservato per la composizione di funzioni. Ovvero $u^2(t) = [u \circ u](t) = u(u(t))$ ed:
$ u^n(t) = [u \circ u \ldots \circ u](t) $.
$ [u(t)]^2 = u(t) \cdot u(t) , \qquad [u(t)]^n = u(t) \ldots u(t)$,
perché il simbolo $u^n(t)$ è riservato per la composizione di funzioni. Ovvero $u^2(t) = [u \circ u](t) = u(u(t))$ ed:
$ u^n(t) = [u \circ u \ldots \circ u](t) $.
"david_e":
A dire il vero [...] il simbolo $u^n(t)$ è riservato per la composizione di funzioni. Ovvero $u^2(t) = [u \circ u](t) = u(u(t))$ ed:
$ u^n(t) = [u \circ u \ldots \circ u](t) $.
Forse in Algebra...
Ma in Analisi [tex]$u^\alpha$[/tex] ha quasi sempre il significato che ho detto prima.
In analisi come ho detto ha quasi sempre il significato di potenza, ma credo sia impropria come notazione. Inoltre esistono importanti eccezioni anche in analisi: ad esempio il simbolo $f^{-1}$ per denotare la mappa inversa è consistente con la notazione in cui $f^k$ indica una composizione, oppure nel contesto dei sistemi dinamici discreti (mappe di Poincaré & co.) la notazione ${f^k(x)}_k$ è comunemente usata per indicare l'orbita di $x$.
vi ringrazio dell'approfonfimento.
Ma per evitare fraintendimenti, posto l'esempio da cui ho preso la notazione e chiedo se potreste dirmi se si ricade nel caso potenza (gugo82) o composizione (david_e).
Equazione differenziale a variabili separabili:
${(u'(t) = t^3*u^2(t)),(u(0)=5):}$
grazie
Ma per evitare fraintendimenti, posto l'esempio da cui ho preso la notazione e chiedo se potreste dirmi se si ricade nel caso potenza (gugo82) o composizione (david_e).
Equazione differenziale a variabili separabili:
${(u'(t) = t^3*u^2(t)),(u(0)=5):}$
grazie
Potenza, ovviamente.
perfetto, dubbio chiarito, grazie mille
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