Notazione di Leibniz per la derivata
Stamattina ho visto fare a lezione una cosa del genere nella descrizione di un moto rettilineo uniforme:
v=dx/dt => dx=v*dt
e poi, integrando (?)
x(t)=vt+c
ottenendo la solita legge oraria del moto.
Ma dx/dt non è soltanto un simbolo, piuttosto che un vero rapporto? Io l'ho sempre considerato un residuo della vecchia concezione di rapporto tra "infinitesimi" (concetto che rimane fumoso). Un po' come il dx in coda all'integrale, ricordo di quella idea di "base" (infinitesima anche essa) dei rettangoli, le cui aree via via sommate forniscono l'integrale. Se ho scritto stupidaggini per favore non abbiatevene a male, non ho capito bene.
v=dx/dt => dx=v*dt
e poi, integrando (?)
x(t)=vt+c
ottenendo la solita legge oraria del moto.
Ma dx/dt non è soltanto un simbolo, piuttosto che un vero rapporto? Io l'ho sempre considerato un residuo della vecchia concezione di rapporto tra "infinitesimi" (concetto che rimane fumoso). Un po' come il dx in coda all'integrale, ricordo di quella idea di "base" (infinitesima anche essa) dei rettangoli, le cui aree via via sommate forniscono l'integrale. Se ho scritto stupidaggini per favore non abbiatevene a male, non ho capito bene.
Risposte
La sostanza è quella. L'utilizzo di quei simboli come veri e propri operandi algebrici è un espediente puramente formale che serve per risolvere in maniera pratica la questione.
"WiZaRd":
L'utilizzo di quei simboli come veri e propri operandi algebrici è un espediente puramente formale che serve per risolvere in maniera pratica la questione.
E come si giustifica?
"Ivan":
[quote="WiZaRd"]L'utilizzo di quei simboli come veri e propri operandi algebrici è un espediente puramente formale che serve per risolvere in maniera pratica la questione.
E come si giustifica?[/quote]
A questa domanda io non so rispondere. Devi attendere che lo faccia qualche altro utente.
Googlando ho trovato questo articolo di Wikipedia: dai uno sguardo alla voce "La notazione di Leibniz nel caso di funzioni da R in R": in buona sostanza, se non ho inteso male, il giochino si giustifica con i differenziali, dacché gli infinitesimi indicati da Leibniz appunto con quesi simboli sono scomparsi dall'analisi matematica e sono rincomparsi nell'analisi non standard ma con ruolo, concezione e notazione differenti.
"Ivan":
Stamattina ho visto fare a lezione una cosa del genere nella descrizione di un moto rettilineo uniforme:
v=dx/dt => dx=v*dt
e poi, integrando (?)
x(t)=vt+c
ottenendo la solita legge oraria del moto.
Ma dx/dt non è soltanto un simbolo, piuttosto che un vero rapporto? Io l'ho sempre considerato un residuo della vecchia concezione di rapporto tra "infinitesimi" (concetto che rimane fumoso). Un po' come il dx in coda all'integrale, ricordo di quella idea di "base" (infinitesima anche essa) dei rettangoli, le cui aree via via sommate forniscono l'integrale. Se ho scritto stupidaggini per favore non abbiatevene a male, non ho capito bene.
Oh, un piccolo urang-utang!
Che tenerezza, chissà se ha ancora dire: "integrando membro a membro".
Ovviamente non c'è nessuna ragione di seguire quelle consuetudini barbare. E le tue perplessità sono più che comprensibili.
Vediamo come si può fare senza che a uno gli vengano ansie più che giustificate:
Cominciamo col precisare che:
v=dx/dt
è da interpretare (dal contesto) nel senso che $dx/dt$ è costante (e vale $v$).
Ma allora una primitiva di una costante $v$ è (ben noto essere) $vt+c$.
Fine.
Lo so che non gliene fregherà niente a nessuno ma ci tengo a comunicare al mondo che quando ho letto il contenuto del primo post ho subito cercato l'intervento di Fioravante Patrone e quando ho letto le prime 2 righe di quest'ultimo sono caduto dalla sedia per le risate. E anche perchè stavo seduto scomposto.
Fine comunicato.
Fine comunicato.
Ma insomma, un po' di rispetto!
Quasi quasi mi trasferisco a Pisa a creare una scuola di TdG e ti sego al mio esame che metteresti subito, immagino.
Quasi quasi mi trasferisco a Pisa a creare una scuola di TdG e ti sego al mio esame che metteresti subito, immagino.
"Ivan":
E come si giustifica?
Non si giustifica: funziona :-D
Sarà insoddisfacente ma è la risposta che mi dice di più.
Bah so che quello che sto per dire può sembrare una sbruffonata ma ti assicuro che non lo é. Ho visto qualcuna delle lezioni che hai messo on line e ho preso il libro che hai pubblicato qui a Pisa. Ho leggiucchiato alcuni libri (Osborne, Gibbons, Binmore, Vannucci e altri). Però o leggo o dò esami. E quindi questa materia come altre devo lasciarle per i rari momenti liberi in cui non ho il cervello fuso (cioè 3 volte all'anno).
A me non dispiacerebbe seguire quel corso. E se fossi tu il prof credo non mi dispiacerebbe. Poi ad essere sincero non mi spaventano i professori "cattivi". Più che altro mi incentivano a farmi un *fondoschiena* maggiore. Ovviamente nelle notti di studio più intenso si beccano tutte le bestemmie più atroci, ma quello è nel sistema.
Ps. Secondo me non ce la fai a mettere un corso qui a Pisa di TdG. E' un maledetto covo di algebristi superteorici, iperfilosofici e astratti. L'anno scorso un prof l'ha messo semplicemente prendendo un corso che si chiama "Elementi di analisi superiore 1" e non so come facendo un programma un po' diverso dallo standard. Epperò non potevo seguirlo perchè ero già oberato di corsi. sigh!
A me non dispiacerebbe seguire quel corso. E se fossi tu il prof credo non mi dispiacerebbe. Poi ad essere sincero non mi spaventano i professori "cattivi". Più che altro mi incentivano a farmi un *fondoschiena* maggiore. Ovviamente nelle notti di studio più intenso si beccano tutte le bestemmie più atroci, ma quello è nel sistema.
Ps. Secondo me non ce la fai a mettere un corso qui a Pisa di TdG. E' un maledetto covo di algebristi superteorici, iperfilosofici e astratti. L'anno scorso un prof l'ha messo semplicemente prendendo un corso che si chiama "Elementi di analisi superiore 1" e non so come facendo un programma un po' diverso dallo standard. Epperò non potevo seguirlo perchè ero già oberato di corsi. sigh!
"Martino":
[quote="Ivan"]E come si giustifica?
Non si giustifica: funziona :-D
Sarà insoddisfacente ma è la risposta che mi dice di più.[/quote]
Se ci stacchiamo un momento dal caso molto semplice introdotto da Ivan, non me la sento di dire che "funziona".
A mio parere "funziona" se in mani esperte. Quelle stesse mani che saprebbero benissimo farne a meno.
In mani inesperte, ci sono molti rischi che il giocattolo si rompa. Per cui il metodo urang-utang andrebbe sempre accompagnato dal "bugiardino" (il foglietto delle avvertenze che c'è nelle confezioni delle medicine). Sul quale ci dovrebbe essere scritto: metodo euristico, da usare con cautela, e avendo cura di fare sempre una verifica finale(*).
[size=75](*) Mi domando cosa possa passare per la testa del tipico fisichingegnere implume che abbia la sfortuna di scoprire che la verifica non funge...[/size]
In questa pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)
quando parla del differenziale alla Leibniz c'è un'argomentazione che forse potrebbe giustificare il metodo suddetto.
E cioè il fatto di considerare il simbolo $dy/dx$ come un $(df(x))/(dx(x))$ rapporto di funzioni differenziale.
Credo possa essere un modo per giustificare il metodo, fermorestando che la verifica a posteriori é d'obbligo. Credo. Quindi sono. Forse.
quando parla del differenziale alla Leibniz c'è un'argomentazione che forse potrebbe giustificare il metodo suddetto.
E cioè il fatto di considerare il simbolo $dy/dx$ come un $(df(x))/(dx(x))$ rapporto di funzioni differenziale.
Credo possa essere un modo per giustificare il metodo, fermorestando che la verifica a posteriori é d'obbligo. Credo. Quindi sono. Forse.
"Megan00b":
In questa pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)
quando parla del differenziale alla Leibniz c'è un'argomentazione che forse potrebbe giustificare il metodo suddetto.
E cioè il fatto di considerare il simbolo $dy/dx$ come un $(df(x))/(dx(x))$ rapporto di funzioni differenziale.
Credo possa essere un modo per giustificare il metodo, fermorestando che la verifica a posteriori é d'obbligo. Credo. Quindi sono. Forse.
Mettiti composto sulla sedia!
Guarda che gli incidenti domestici sono frequentissimi e possono essere perniciosissimi. Non possiamo correre il rischio di perdere un matematico "under constuction"!
Che dire?
Mi verrebbe da dire una "bestialità". Ovvero, che al posto del solito urang-utang qualcuno ha fatto uscire un coniglio dal cappello.
Volando un po' più alto, sembra un ardito sincretismo fa la notazione leibniziana e le flussioni newtoniane.
Che possa essere una strada per "giustificare", se ben percorsa, il metodo u-u, non mi sento di escluderlo. Anche se forse lo u-u non vale tutta questa fatica, ogni cosa che mostri volti nuovi di cose che siamo abituati a vedere in altro modo male non può fare, anzi.
Mi piace la notazione $dx(x)$. Come mi piace $\succ != =$
"Fioravante Patrone":
A mio parere "funziona" se in mani esperte. Quelle stesse mani che saprebbero benissimo farne a meno.
Certo, sono d'accordo.
Diciamo che se il procedimento in esame non è giustificato, almeno è intuitivo che esiste una teoria che lo giustifica.
Comunque credo che nella teoria generale delle forme differenziali si possa trovare l'occasione di smaliziarsi un po' verso questa "tecnica". Almeno, io studiando geometria differenziale ho finalmente digerito i simboli tipo $dx$, $dt$ e affini.
Tranquillo, ho montato delle cinghie da acchiappare al volo in caso la sedia sfugga di nuovo.
Lo so che la tua crociata contro quel metodo non conosce sosta, solo che qualche volta può essere comodo. Senonaltro per integrarsi con altri che lo usano perchè gliel'hanno insegnato. Cioè, dico, quel metodo lo si ritrova nei manuali, nei corsi universitari, in studi anche ufficiali e almeno per me studentello qualunque è davvero difficile presentarsi da un professore, un ricercatore, uno col titolo insomma e dire: "Egregio dottore/professore, lei usa un metodo scorretto. Ora le faccio vedere io come si fa." Quindi almeno finchè la mia condizione è quella attuale devo adattarmi (penso sia così per tutti) e al limite cercare di giustificarla in qualche modo. Tentare di renderla, insomma, una tecnica ingannevole piuttosto che una tecnica errata.
O sbaglio?
Lo so che la tua crociata contro quel metodo non conosce sosta, solo che qualche volta può essere comodo. Senonaltro per integrarsi con altri che lo usano perchè gliel'hanno insegnato. Cioè, dico, quel metodo lo si ritrova nei manuali, nei corsi universitari, in studi anche ufficiali e almeno per me studentello qualunque è davvero difficile presentarsi da un professore, un ricercatore, uno col titolo insomma e dire: "Egregio dottore/professore, lei usa un metodo scorretto. Ora le faccio vedere io come si fa." Quindi almeno finchè la mia condizione è quella attuale devo adattarmi (penso sia così per tutti) e al limite cercare di giustificarla in qualche modo. Tentare di renderla, insomma, una tecnica ingannevole piuttosto che una tecnica errata.
O sbaglio?
Ci sarebbe l'integrale di Riemann-Stieltjes a dare una spiegazione dei vari $dx$ già a un livello più elementare. Almeno dà un minimo di chiarezza alla formula del cambiamento di variabile.
P.S: mi riferivo all'intervento di Martino.
P.S: mi riferivo all'intervento di Martino.
"Megan00b":
O sbaglio?
Sbagli, IMVHO. La scienza non è compromesso. Non c'è necessità di emuli di Daniele Ricciarelli.
No, quel "o sbaglio" si riferiva al mio discorso sulla condizione di studente. Secondo te posso andare da un professore coi titoli, le lauree, i diplomi, le pubblicazioni, la cattedra e dirgli "caro professore, sono arrivato ieri e ti dico che hai sbagliato"?
Ho sentito il mio professore di analisi dire qualcosa tipo "scusate ragazzi, sono un imbecille, ho sbagliato tutto,..." quando gli facemmo notare un errore. E pazientemente ha corretto l'errore che aveva fatto (per altro un'inezia) e ci ha portato alla lezione successiva il risultato corretto, scusandosi e riscusandosi.
Ma è davvero un'eccezione. Non so, almeno per ora preferisco <> pur nel frattempo cercando di capire da solo (o magari con aiuto qui sul forum) quando il padrone sbaglia il posto dove attaccare il ciuccio. Ahimé ci sono troppi professori universitari che giocano a fare i primari. Oppure sono sfigato e me li sono trovati tutti io. Ai posteri l'ardua sentenza.
Ho sentito il mio professore di analisi dire qualcosa tipo "scusate ragazzi, sono un imbecille, ho sbagliato tutto,..." quando gli facemmo notare un errore. E pazientemente ha corretto l'errore che aveva fatto (per altro un'inezia) e ci ha portato alla lezione successiva il risultato corretto, scusandosi e riscusandosi.
Ma è davvero un'eccezione. Non so, almeno per ora preferisco <
"Megan00b":
Ho sentito il mio professore di analisi dire qualcosa tipo "scusate ragazzi, sono un imbecille, ho sbagliato tutto,..." quando gli facemmo notare un errore. E pazientemente ha corretto l'errore che aveva fatto (per altro un'inezia) e ci ha portato alla lezione successiva il risultato corretto, scusandosi e riscusandosi.
Ma è davvero un'eccezione. Non so, almeno per ora preferisco <> pur nel frattempo cercando di capire da solo (o magari con aiuto qui sul forum) quando il padrone sbaglia il posto dove attaccare il ciuccio. Ahimé ci sono troppi professori universitari che giocano a fare i primari. Oppure sono sfigato e me li sono trovati tutti io. Ai posteri l'ardua sentenza.
Può darsi che le nostre statistiche siano entrambe distorte, ma nella mia esperienza di prof disposti ad ammettere di aver sbagliato ne conosco tanti.
Il guaio è che spesso quelli che sbagliano a volte non sono i migliori e allora tendono a difendere aggressivamente il loro fortilizio.
"Megan00b":
No, quel "o sbaglio" si riferiva al mio discorso sulla condizione di studente. Secondo te posso andare da un professore coi titoli, le lauree, i diplomi, le pubblicazioni, la cattedra e dirgli "caro professore, sono arrivato ieri e ti dico che hai sbagliato"?
Secondo me sì, per fortuna.
Basta non essere arroganti. Per cui il discorso lo inizierei così: "caro professore, quello che dici qui mi lascia perplesso per questo e quest'altro motivo".
Tieni presente che, in matematica [almeno a questi livelli], se uno si sbaglia, tutti sono in grado di vedere che sbaglia. Quindi sarebbe anche abbastanza sciocco, da parte del "prof" difendere una posizione indifendibile.
"Fioravante Patrone":
Può darsi che le nostre statistiche siano entrambe distorte, ma nella mia esperienza di prof disposti ad ammettere di aver sbagliato ne conosco tanti.
Il guaio è che spesso quelli che sbagliano a volte non sono i migliori e allora tendono a difendere aggressivamente il loro fortilizio.
Verissimo. Credimi, ho visto delle arrampicate su specchio che neanche Achille Compagnoni. E gli scalatori di turno non erano delle aquile.
Secondo me sì, per fortuna.
Basta non essere arroganti. Per cui il discorso lo inizierei così: "caro professore, quello che dici qui mi lascia perplesso per questo e quest'altro motivo".
Tieni presente che, in matematica [almeno a questi livelli], se uno si sbaglia, tutti sono in grado di vedere che sbaglia. Quindi sarebbe anche abbastanza sciocco, da parte del "prof" difendere una posizione indifendibile.
Su questo siamo d'accordo. E in generale, è sciocco per chiunque difendere a tutti i costi una cosa sbagliata. Soprattutto visto che non c'è nessuno lì pronto a fucilarlo se ammette l'errore e corregge. Qualche volta mi è capitato di far notare degli errori, in maniera pacata ed umile, a volte la prendono bene, altre volte sbuffano, altre volte si irritano. Io penso sempre: "Ok, ora ti irriti perchè ti ho corretto, com'è che io non mi posso irritare quando mi fai le pulci all'esame?!"
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