Notazione di Einstein - Esercizi
Salve a tutti!
Sto avendo alcuni dubbi sullo svolgimento di alcune dimostrazioni. La prima penso di averla fatta bene, la seconda invece mi sta dando non poco mal di testa (ho iniziato a digerire questo tipo di notazione 2 giorni fa, capitemi...)
Dimostrazione 1:
$(veca xx vecb)$$*$$(vecc xx vecd)$ $=$ $epsilon_{ijk}$$a_i$$b_j$$epsilon_{klm}$$c_l$$d_m$
Da notare che si deve fare attenzione a che l'indice finale della prima $epsilon$, cioè $k$, sia il primo indice della seconda epsilon, questo dovrebbe essere il modo corretto di rappresentare il prodotto vettoriale.
Notare anche che $k$ è l'unico "indice libero"
Sviluppo ulteriormente:
$epsilon_{ijk}$$a_i$$b_j$$epsilon_{klm}$$c_l$$d_m$ $=$ $epsilon_{ijk}$$epsilon_{klm}$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$
Applico la proprietà $epsilon$$-$$delta$:
$epsilon_{ijk}$$epsilon_{klm}$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$ $=$ $(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$ $=$ $delta_{il}delta_{jm}a_ib_jc_ld_m$$-$$delta_{im}delta_{jl}a_ib_jc_ld_m$
Grazie alla definizione del $delta$ e cioè $delta$$=$$| ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |$ posso dire che gli unici valori non nulli sono quei valori per cui, nel primo termine $i=l$ e $j=m$
Sviluppo quindi inserendo quest'osservazione:
$delta_{il}delta_{jm}a_ib_jc_ld_m$$-$$delta_{im}delta_{jl}a_ib_jc_ld_m$ $=$ $a_ic_ib_jd_j$ $-$ $a_md_mb_lc_l$ $=$ $| ( veca*vecc , vecb*vecc ),( veca*vecd , vecb*vecd ) |$
L'ultimo passaggio è l'applicazione della definizione di prodotto scalare secondo la notazione di Einstein.
Ho quindi dimostrato che $(veca xx vecb)$$*$$(vecc xx vecd)$ $=$ $| ( veca*vecc , vecb*vecc ),( veca*vecd , vecb*vecd ) |$
Nella seconda dimostrazione invece mi trovo in difficoltà, è richiesto di dimostrare che $(veca xx vecb)$$xx$$(vecc xx vecd)$ $=$ $[vecc*(vecd xx veca)]vecb$$-$$[vecc*(vecd xx vecb)]veca$
A dire il vero non riesco nemmeno a partire in quando non so come sviluppare in notazione di Einsten il triplo prodotto vettoriale...
Per esercitarmi ho deciso quindi di provare qualcosa di più semplice, ed ho provato a sviluppare un doppio vettoriale in questo modo:
$veca xx (vecb xx vecc)$ $=$ $veca xx vecd$ dove $vecd$$=$$vecb xx vecc$$=$$epsilon_{ijk}b_ic_j$ essendo $k$ l'unico indice libero, so già che il vettore $vecd$ sarà associato all'indice $k$, devo fare quindi attenzione a come lo utilizzerò in futuro:
$veca xx vecd$$=$$epsilon_{klm}a_md_k$$=$$epsilon_{klm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$
Su quest'ultima uguaglianza ho un dubbio riguardo agli indici scelti sulla prima $epsilon$ ($epsilon_{klm}$):
Le seguenti espressioni, se ho capito bene, dovrebbero essere tutte equivalenti $epsilon_{klm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{klm}a_l(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{lkm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{lkm}a_l(epsilon_{ijk}b_ic_j)$
L'importante è non prendere
$epsilon_{lmk}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$ in quanto la posizione dell'indice $k$ sulla prima $epsilon$ mi farebbe ricadere nella definizione di Einstein di prodotto scalare, ed io invece voglio fare il vettoriale. E' giusta questa osservazione?
Non sviluppo ulteriormente quest'esempio in quanto è praticamente identico al primo, la difficoltà sta nel definire gli indici all'inizio...
Per quanto riguarda la dimostrazione sul triplo prodotto vettoriale, qualcuno ha una strada da indicarmi?
Vi ringrazio e mi scuso anticipatamente per il papiro che ho scritto...
Grazie!!!
Sto avendo alcuni dubbi sullo svolgimento di alcune dimostrazioni. La prima penso di averla fatta bene, la seconda invece mi sta dando non poco mal di testa (ho iniziato a digerire questo tipo di notazione 2 giorni fa, capitemi...)
Dimostrazione 1:
$(veca xx vecb)$$*$$(vecc xx vecd)$ $=$ $epsilon_{ijk}$$a_i$$b_j$$epsilon_{klm}$$c_l$$d_m$
Da notare che si deve fare attenzione a che l'indice finale della prima $epsilon$, cioè $k$, sia il primo indice della seconda epsilon, questo dovrebbe essere il modo corretto di rappresentare il prodotto vettoriale.
Notare anche che $k$ è l'unico "indice libero"
Sviluppo ulteriormente:
$epsilon_{ijk}$$a_i$$b_j$$epsilon_{klm}$$c_l$$d_m$ $=$ $epsilon_{ijk}$$epsilon_{klm}$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$
Applico la proprietà $epsilon$$-$$delta$:
$epsilon_{ijk}$$epsilon_{klm}$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$ $=$ $(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})$$a_i$$b_j$$c_l$$d_m$ $=$ $delta_{il}delta_{jm}a_ib_jc_ld_m$$-$$delta_{im}delta_{jl}a_ib_jc_ld_m$
Grazie alla definizione del $delta$ e cioè $delta$$=$$| ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |$ posso dire che gli unici valori non nulli sono quei valori per cui, nel primo termine $i=l$ e $j=m$
Sviluppo quindi inserendo quest'osservazione:
$delta_{il}delta_{jm}a_ib_jc_ld_m$$-$$delta_{im}delta_{jl}a_ib_jc_ld_m$ $=$ $a_ic_ib_jd_j$ $-$ $a_md_mb_lc_l$ $=$ $| ( veca*vecc , vecb*vecc ),( veca*vecd , vecb*vecd ) |$
L'ultimo passaggio è l'applicazione della definizione di prodotto scalare secondo la notazione di Einstein.
Ho quindi dimostrato che $(veca xx vecb)$$*$$(vecc xx vecd)$ $=$ $| ( veca*vecc , vecb*vecc ),( veca*vecd , vecb*vecd ) |$
Nella seconda dimostrazione invece mi trovo in difficoltà, è richiesto di dimostrare che $(veca xx vecb)$$xx$$(vecc xx vecd)$ $=$ $[vecc*(vecd xx veca)]vecb$$-$$[vecc*(vecd xx vecb)]veca$
A dire il vero non riesco nemmeno a partire in quando non so come sviluppare in notazione di Einsten il triplo prodotto vettoriale...
Per esercitarmi ho deciso quindi di provare qualcosa di più semplice, ed ho provato a sviluppare un doppio vettoriale in questo modo:
$veca xx (vecb xx vecc)$ $=$ $veca xx vecd$ dove $vecd$$=$$vecb xx vecc$$=$$epsilon_{ijk}b_ic_j$ essendo $k$ l'unico indice libero, so già che il vettore $vecd$ sarà associato all'indice $k$, devo fare quindi attenzione a come lo utilizzerò in futuro:
$veca xx vecd$$=$$epsilon_{klm}a_md_k$$=$$epsilon_{klm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$
Su quest'ultima uguaglianza ho un dubbio riguardo agli indici scelti sulla prima $epsilon$ ($epsilon_{klm}$):
Le seguenti espressioni, se ho capito bene, dovrebbero essere tutte equivalenti $epsilon_{klm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{klm}a_l(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{lkm}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$, $epsilon_{lkm}a_l(epsilon_{ijk}b_ic_j)$
L'importante è non prendere
$epsilon_{lmk}a_m(epsilon_{ijk}b_ic_j)$ in quanto la posizione dell'indice $k$ sulla prima $epsilon$ mi farebbe ricadere nella definizione di Einstein di prodotto scalare, ed io invece voglio fare il vettoriale. E' giusta questa osservazione?
Non sviluppo ulteriormente quest'esempio in quanto è praticamente identico al primo, la difficoltà sta nel definire gli indici all'inizio...
Per quanto riguarda la dimostrazione sul triplo prodotto vettoriale, qualcuno ha una strada da indicarmi?
Vi ringrazio e mi scuso anticipatamente per il papiro che ho scritto...
Grazie!!!
Risposte
Per il secondo basta fare come hai fatto per il primo (con un po' di pazienza):
\[
(a\times b)\times (c\times d) = \epsilon_{ijk} (a\times b)_i (c\times d)_j
= \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmi}a_l b_m \epsilon_{rsj}c_r d_s.
\]
Puoi poi contrarre un prodotto di due \(\epsilon\) come avevi fatto sopra etc. etc.
\[
(a\times b)\times (c\times d) = \epsilon_{ijk} (a\times b)_i (c\times d)_j
= \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmi}a_l b_m \epsilon_{rsj}c_r d_s.
\]
Puoi poi contrarre un prodotto di due \(\epsilon\) come avevi fatto sopra etc. etc.
Ciao, grazie per il consiglio! Ho provato a seguire la tua linea guida ma c'è sempre qualcosa che non torna in questa dimostrazione...
$(veca xx vecb)$$xx$$(vecc xx vecd)$$=$$epsilon_{ijk}(veca xx vecb)_i(vecc xx vecd)_j$$=$$epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}a_rb_sepsilon_{lmj}c_ld_m$$=$$epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}a_rb_sc_ld_m$
Da qui ho provato ad andare avanti in vari modi, senza mai arrivare ad una conclusione
Un modo è stato quello di sviluppare $epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}$$=$$det | ( delta_{rl} , delta_{rm} , delta_{rj} ),( delta_{sl} , delta_{sm} , delta_{sj} ),( delta_{il} , delta_{im} , delta_{ij} ) |$
In questo modo risulta $epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}a_rb_sc_ld_m$$=$$epsilon_{ijk}[delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}-delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}-delta_{rm}delta_{sl}delta_{ij}+delta_{rm}delta_{sj}delta_{il}+delta_{rj}delta_{sl}delta_{im}-delta_{rj}delta_{sm}delta_{il}]a_rb_sc_ld_m$
Distribuisco $a_rb_sc_ld_m$ su tutti i $delta$ ed ottengo
$epsilon_{ijk}[delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m-delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}a_rb_sc_ld_m-delta_{rm}delta_{sl}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m+delta_{rm}delta_{sj}delta_{il}a_rb_sc_ld_m+delta_{rj}delta_{sl}delta_{im}a_rb_sc_ld_m-delta_{rj}delta_{sm}delta_{il}a_rb_sc_ld_m]$ (non so perché non mi finisce la formula ma tanto si capisce, no?)
A questo punto cosa posso dire?
Nel primo termine $delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m$ posso dire che gli indici uguali sono $r=l,s=m$ e mi rimane quindi $delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m$$=$$delta_{ij}a_rc_rb_sd_s$
Nel secondo termine $delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}a_rb_sc_ld_m$ posso dire che $r=l$ ma poi per $s,j,i,m$ non riesco a dire nulla visto che non compaiono insieme (compare solo una $s$ senza nessuna $j$ ed una $m$ senza nessuna $i$)
Insomma mi sembra che questa strada sia inconcludente e mi blocco...
Come sempre, grazie a tutti per l'aiuto!
$(veca xx vecb)$$xx$$(vecc xx vecd)$$=$$epsilon_{ijk}(veca xx vecb)_i(vecc xx vecd)_j$$=$$epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}a_rb_sepsilon_{lmj}c_ld_m$$=$$epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}a_rb_sc_ld_m$
Da qui ho provato ad andare avanti in vari modi, senza mai arrivare ad una conclusione
Un modo è stato quello di sviluppare $epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}$$=$$det | ( delta_{rl} , delta_{rm} , delta_{rj} ),( delta_{sl} , delta_{sm} , delta_{sj} ),( delta_{il} , delta_{im} , delta_{ij} ) |$
In questo modo risulta $epsilon_{ijk}epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}a_rb_sc_ld_m$$=$$epsilon_{ijk}[delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}-delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}-delta_{rm}delta_{sl}delta_{ij}+delta_{rm}delta_{sj}delta_{il}+delta_{rj}delta_{sl}delta_{im}-delta_{rj}delta_{sm}delta_{il}]a_rb_sc_ld_m$
Distribuisco $a_rb_sc_ld_m$ su tutti i $delta$ ed ottengo
$epsilon_{ijk}[delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m-delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}a_rb_sc_ld_m-delta_{rm}delta_{sl}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m+delta_{rm}delta_{sj}delta_{il}a_rb_sc_ld_m+delta_{rj}delta_{sl}delta_{im}a_rb_sc_ld_m-delta_{rj}delta_{sm}delta_{il}a_rb_sc_ld_m]$ (non so perché non mi finisce la formula ma tanto si capisce, no?)
A questo punto cosa posso dire?
Nel primo termine $delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m$ posso dire che gli indici uguali sono $r=l,s=m$ e mi rimane quindi $delta_{rl}delta_{sm}delta_{ij}a_rb_sc_ld_m$$=$$delta_{ij}a_rc_rb_sd_s$
Nel secondo termine $delta_{rl}delta_{sj}delta_{im}a_rb_sc_ld_m$ posso dire che $r=l$ ma poi per $s,j,i,m$ non riesco a dire nulla visto che non compaiono insieme (compare solo una $s$ senza nessuna $j$ ed una $m$ senza nessuna $i$)
Insomma mi sembra che questa strada sia inconcludente e mi blocco...
Come sempre, grazie a tutti per l'aiuto!
Prova a contrarre solo due \(\epsilon\) mettendo le corrispondenti \(\delta\); il terzo \(\epsilon\) tienilo per formare i nuovi prodotti vettoriali.
(PS: non ho fatto i conti in dettaglio.)
(PS: non ho fatto i conti in dettaglio.)
"Rigel":
Prova a contrarre solo due \(\epsilon\) mettendo le corrispondenti \(\delta\); il terzo \(\epsilon\) tienilo per formare i nuovi prodotti vettoriali.
(PS: non ho fatto i conti in dettaglio.)
Cosa intendi per "contrarre solo due $epsilon$"? Io ne ho 3, ho sviluppato il "prodotto"(se così si può chiamare) tra due e la terza che sarebbe $epsilon_{ijk}$ l'ho lasciata libera.
Il problema che riscontro è che quando sviluppo le due $epsilon_{rsi}epsilon_{lmj}$ mi saltano fuori dei $delta$ con cui non so che farci
Ricordati che, ad esempio, \(\epsilon_{ijk}\delta_{ij} = 0\).
Diversi termini di quella formula lunga sono in realtà nulli.
Edit: vabbé, facciamo questo conto.
\[
\begin{split}
[(a\times b)\times (c\times d) ]_i &=
\epsilon_{ijk} (a\times b)_j (c\times d)_k
\\ & = \epsilon_{ijk}\epsilon_{jlm} a_l b_m \epsilon_{krs} c_r d_s
\\ & = (\delta_{im}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{km})a_l b_m \epsilon_{krs} c_r d_s
\\ & = - \epsilon_{skr} d_s b_k c_r a_i + \epsilon_{skr} d_s k_k c_r b_i
\\ & = -(d\times b)_r c_r a_i + (d\times a)_r c_r b_i
\\ & = - c\cdot (d\times b) a_i + c\cdot(d\times a) b_i
\end{split}
\]
Diversi termini di quella formula lunga sono in realtà nulli.
Edit: vabbé, facciamo questo conto.
\[
\begin{split}
[(a\times b)\times (c\times d) ]_i &=
\epsilon_{ijk} (a\times b)_j (c\times d)_k
\\ & = \epsilon_{ijk}\epsilon_{jlm} a_l b_m \epsilon_{krs} c_r d_s
\\ & = (\delta_{im}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{km})a_l b_m \epsilon_{krs} c_r d_s
\\ & = - \epsilon_{skr} d_s b_k c_r a_i + \epsilon_{skr} d_s k_k c_r b_i
\\ & = -(d\times b)_r c_r a_i + (d\times a)_r c_r b_i
\\ & = - c\cdot (d\times b) a_i + c\cdot(d\times a) b_i
\end{split}
\]
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