Notazione derivata parziale
Ciao, amici! Posto qui perché si tratta di derivazione, anche se nel testo (appendice algebrica del Sernesi, Geometria 1, p. 454 della ristampa del 2009 -ed. del 2000- edita da Bollati Boringhieri) è definita, per un polinomio, in termini strettamente algebrici.
Leggo che la derivata rispetto a $t$ del polinomio $F(tX_0,...,tX_N)=t^d F(X_0,...,X_N)$, dove $F(X_0,...,X_N)$ è omogeneo di grado $d\in NN uu {0}$, è
\[d·t^{d-1}F(X_0,...,X_N)=\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}\]
È corretta la mia interpretazione della scrittura $\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}$ come $\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(Y_0,...,Y_N)}{\partial Y_i}$ dove ho posto $Y_0,...,Y_N=tX_0,...,tX_N$?
In questo modo mi pare che i conti mi tornino, infatti $d$ è la somma dei gradi con cui appare ogni $Y_i=tX_i$ e derivando parzialmente ogni monomio rispetto a ciascun $Y_i$ si moltiplica il monomio per un coefficiente che è l'esponente di $Y_i$, e sommando questi coefficienti per proprietà distributiva si ottiene proprio $d$, mentre d'altra parte moltiplicare ogni derivata parziale per $X_i$ "ripristina" l'esponente che aveva "prima della derivazione" ogni $X_i$ (presente in $Y_i=tX_i$). Spero di essermi fatto capire.
$+oo$ grazie a tutti!!!
P.S.: Se, invece, ponendo $f(X_0,...,X_N)=F(tX_0,...,tX_N)$ l'espressione \(\frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}\) significasse \(\frac{\partial f(X_0,...,X_N)}{\partial X_i}\) mi pare che nella sommatoria l'esponente di $t$ non si abbasserebbe di un'unità rispetto a quello ($d$) che si trova in $F(tX_0,...,tX_N)$, e quindi direi che tale sommatoria non potrebbe essere la derivata del polinomio rispetto a $t$.
Leggo che la derivata rispetto a $t$ del polinomio $F(tX_0,...,tX_N)=t^d F(X_0,...,X_N)$, dove $F(X_0,...,X_N)$ è omogeneo di grado $d\in NN uu {0}$, è
\[d·t^{d-1}F(X_0,...,X_N)=\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}\]
È corretta la mia interpretazione della scrittura $\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}$ come $\sum_{i=0}^{N} X_i \frac{\partial F(Y_0,...,Y_N)}{\partial Y_i}$ dove ho posto $Y_0,...,Y_N=tX_0,...,tX_N$?
In questo modo mi pare che i conti mi tornino, infatti $d$ è la somma dei gradi con cui appare ogni $Y_i=tX_i$ e derivando parzialmente ogni monomio rispetto a ciascun $Y_i$ si moltiplica il monomio per un coefficiente che è l'esponente di $Y_i$, e sommando questi coefficienti per proprietà distributiva si ottiene proprio $d$, mentre d'altra parte moltiplicare ogni derivata parziale per $X_i$ "ripristina" l'esponente che aveva "prima della derivazione" ogni $X_i$ (presente in $Y_i=tX_i$). Spero di essermi fatto capire.
$+oo$ grazie a tutti!!!
P.S.: Se, invece, ponendo $f(X_0,...,X_N)=F(tX_0,...,tX_N)$ l'espressione \(\frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}\) significasse \(\frac{\partial f(X_0,...,X_N)}{\partial X_i}\) mi pare che nella sommatoria l'esponente di $t$ non si abbasserebbe di un'unità rispetto a quello ($d$) che si trova in $F(tX_0,...,tX_N)$, e quindi direi che tale sommatoria non potrebbe essere la derivata del polinomio rispetto a $t$.
Risposte
"DavideGenova":
È corretta la mia interpretazione della scrittura...
Ciao Davide. Certamente. Anche perchè il manuale intende $[X_i]$ nella parte inferiore del simbolo $[\frac{\partial F(tX_0,...,tX_N)}{\partial X_i}]$ solo come segnaposto.
$+oo$ grazie!!! Ciao!
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