Notazione corretta di integrale
Salve ragazzi, durante i miei studi in ingegneria, ho riscontrato molto spesso quanto sia importante scrivere in forma corretta un integrale, in particolare andando a distinguere l'estremo di integrazione dalla variabile rispetto cui sto integrando e vorrei capire il perché di questa cosa ( premetto che non mi è stata mai spiegata da nessun prof). Propongo di seguito un esempio per cercare di essere il più chiaro possibile:
prendiamo questa ODE:
$ (dT)/(dϑ)=C1∙e^(-ϑ^2 ) $
$ C2^{\prime}∙(T-Tw)=∫_(ϑ^{\prime}=0)^ϑ〖e^(〖-ϑ'〗^2 ) dϑ'〗 $
come si vede sto attento a distinguere $ ϑ $ da $ ϑ' $ quando vado ad integrare.
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponderà.
prendiamo questa ODE:
$ (dT)/(dϑ)=C1∙e^(-ϑ^2 ) $
$ C2^{\prime}∙(T-Tw)=∫_(ϑ^{\prime}=0)^ϑ〖e^(〖-ϑ'〗^2 ) dϑ'〗 $
come si vede sto attento a distinguere $ ϑ $ da $ ϑ' $ quando vado ad integrare.
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponderà.
Risposte
Ciao D.MANCINI1,
Benvenuto nel forum!
Non sono sicurissimo di aver capito cosa ti serve... Ci provo.
La variabile che compare in un integrale è una cosiddetta variabile "muta", nel senso che non parla, non dice niente di particolare: ci potresti scrivere qualsiasi cosa al suo posto. La stessa cosa accade anche con gli indici di sommatoria: $\sum_{k = 1}^{+\infty} f(k) = \sum_{j = 1}^{+\infty} f(j) = \sum_{zia = 1}^{+\infty} f(zia)... $
Ai miei tempi (non lo so adesso...) si usava spesso la notazione seguente:
$F(x) = \int_{0}^{x} f( \cdot) d(\cdot)$
Nel caso specifico dell'ODE a variabili separabili che hai proposto (usi delle notazioni un po' strane ed inutilmente ridondanti...), quell'integrale non si riesce a risolvere, infatti è proporzionale alla ben nota funzione degli errori:
$erf(\theta) := frac{2}{sqrt \pi}\int_{0}^{\theta} e^{-(\cdot)^2} d(\cdot)$
Dunque, dato che la costante $frac{2}{sqrt \pi}$ si può inglobare nella costante di integrazione, personalmente esprimerei la soluzione dell'ODE che hai proposto nella forma seguente:
$T - T_{w} = k \cdot erf(\theta)$
Questo per il semplice motivo che la funzione $erf(\theta)$ è usata spesso e tabulata praticamente ovunque, e quindi note $\theta$ e la costante $k$ si può trovare in modo relativamente semplice la differenza che compare al primo membro.
Benvenuto nel forum!
Non sono sicurissimo di aver capito cosa ti serve... Ci provo.
La variabile che compare in un integrale è una cosiddetta variabile "muta", nel senso che non parla, non dice niente di particolare: ci potresti scrivere qualsiasi cosa al suo posto. La stessa cosa accade anche con gli indici di sommatoria: $\sum_{k = 1}^{+\infty} f(k) = \sum_{j = 1}^{+\infty} f(j) = \sum_{zia = 1}^{+\infty} f(zia)... $
Ai miei tempi (non lo so adesso...) si usava spesso la notazione seguente:
$F(x) = \int_{0}^{x} f( \cdot) d(\cdot)$
Nel caso specifico dell'ODE a variabili separabili che hai proposto (usi delle notazioni un po' strane ed inutilmente ridondanti...), quell'integrale non si riesce a risolvere, infatti è proporzionale alla ben nota funzione degli errori:
$erf(\theta) := frac{2}{sqrt \pi}\int_{0}^{\theta} e^{-(\cdot)^2} d(\cdot)$
Dunque, dato che la costante $frac{2}{sqrt \pi}$ si può inglobare nella costante di integrazione, personalmente esprimerei la soluzione dell'ODE che hai proposto nella forma seguente:
$T - T_{w} = k \cdot erf(\theta)$
Questo per il semplice motivo che la funzione $erf(\theta)$ è usata spesso e tabulata praticamente ovunque, e quindi note $\theta$ e la costante $k$ si può trovare in modo relativamente semplice la differenza che compare al primo membro.
"pilloeffe":
Ciao D.MANCINI1,
Benvenuto nel forum!
Non sono sicurissimo di aver capito cosa ti serve... Ci provo.
La variabile che compare in un integrale è una cosiddetta variabile "muta", nel senso che non parla, non dice niente di particolare: ci potresti scrivere qualsiasi cosa al suo posto. La stessa cosa accade anche con gli indici di sommatoria: $\sum_{k = 1}^{+\infty} f(k) = \sum_{j = 1}^{+\infty} f(j) = \sum_{zia = 1}^{+\infty} f(zia)... $
Ai miei tempi (non lo so adesso...) si usava spesso la notazione seguente:
$F(x) = \int_{0}^{x} f( \cdot) d(\cdot)$
Nel caso specifico dell'ODE a variabili separabili che hai proposto (usi delle notazioni un po' strane ed inutilmente ridondanti...), quell'integrale non si riesce a risolvere, infatti è proporzionale alla ben nota funzione degli errori:
$erf(\theta) := frac{2}{sqrt \pi}\int_{0}^{\theta} e^{-(\cdot)^2} d(\cdot)$
Dunque, dato che la costante $frac{2}{sqrt \pi}$ si può inglobare nella costante di integrazione, personalmente esprimerei la soluzione dell'ODE che hai proposto nella forma seguente:
$T - T_{w} = k \cdot erf(\theta)$
Questo per il semplice motivo che la funzione $erf(\theta)$ è usata spesso e tabulata praticamente ovunque, e quindi note $\theta$ e la costante $k$ si può trovare in modo relativamente semplice la differenza che compare al primo membro.
Innanzitutto grazie per la risposta. Si si quello era un esempio, so qual'è la soluzione del problema. Quello che chiedevo è un fatto puramente di notazione. L'esempio non è scelto a caso, ovviamente, infatti se non facessi attenzione a quel dettaglio di sostituire ϑ con ϑ', cioè di sostituire ϑ con una variabile generica che non dipende da ϑ, non troverei la soluzione corretta ad esempio alla derivata rispetto a ϑ, ad un valore di ϑ fissato, della erf(ϑ), cioè:
$ [(derf(ϑ))/(dϑ)]|((ϑ=0)) $
La domanda è perchè quando integro devo distinguere l'estremo di integrazione dalla variabile rispetto cui sto integrando? Ponendola a te, dire, allora:" Perchè la variabile nell'integrale è una variabile muta? Cosa accadrebbe se usassi la stessa variabile, sia per gli estremi, che per quella nell'integrale? Commetterei sicuramente un errore, ma perchè?
Spero di essere stato più chiaro questa volta, almeno lo spero
Ciao D.MANCINI1,
Ok, ci riprovo...
Perché dici che commetteresti sicuramente un errore? Prendiamo una funzione più semplice, della quale riusciamo facilmente a fare l'integrale: $f(x) = x + 1$.
Posso tranquillamente scrivere:
$F(x) = \int_{0}^{x} (x + 1) dx = [frac{x^2}{2} + x]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
Otterrei lo stesso risultato se usassi altre variabili:
$F(x) = \int_{0}^{x} (t + 1) dt = [frac{t^2}{2} + t]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$F(x) = \int_{0}^{x} (u + 1) du = [frac{u^2}{2} + u]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$F(x) = \int_{0}^{x} ((\cdot) + 1) d(\cdot) = [frac{(\cdot)^2}{2} + (\cdot)]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$vdots$
$F(x) = \int_{0}^{x} (zia + 1) d(zia) = [frac{(zia)^2}{2} + zia]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
In altre parole, la $x$ "che conta" è quella dell'estremo di integrazione, non quella della funzione integranda: lì ci posso scrivere qualsiasi cosa mi venga in mente...
Ok, ci riprovo...
Perché dici che commetteresti sicuramente un errore? Prendiamo una funzione più semplice, della quale riusciamo facilmente a fare l'integrale: $f(x) = x + 1$.Posso tranquillamente scrivere:
$F(x) = \int_{0}^{x} (x + 1) dx = [frac{x^2}{2} + x]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
Otterrei lo stesso risultato se usassi altre variabili:
$F(x) = \int_{0}^{x} (t + 1) dt = [frac{t^2}{2} + t]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$F(x) = \int_{0}^{x} (u + 1) du = [frac{u^2}{2} + u]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$F(x) = \int_{0}^{x} ((\cdot) + 1) d(\cdot) = [frac{(\cdot)^2}{2} + (\cdot)]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
$vdots$
$F(x) = \int_{0}^{x} (zia + 1) d(zia) = [frac{(zia)^2}{2} + zia]_{0}^{x} = frac{x^2}{2} + x$
In altre parole, la $x$ "che conta" è quella dell'estremo di integrazione, non quella della funzione integranda: lì ci posso scrivere qualsiasi cosa mi venga in mente...
Si sono d'accordissimo con te su quanto dici, ma quando dico che commetterei errore a non distinguere le due variabili è perchè se tu provassi a risolvere con il criterio di Leibniz quella derivata che ti ho scritto prima, facendo poca attenzione a non distinguere le due variabili, otterresti un risultato sbagliato (cosa che mi è stata detta e che io stesso ho provato a fare per convincermene).
Ora te lo faccio:
$ ((d(erf(vartheta))/(dvartheta))|vartheta=0)=2/sqrt(pi)*(d/(dvartheta)vartheta*e^-(vartheta^2)-d/(dvartheta)0*e^-(0^2)+int_(vartheta=0)^(vartheta) d/(dvartheta)e^-(vartheta^2)dvartheta)|vartheta=0 $
come vedi se non facessi attenzione a dire che l'estremo di integrazione non è $ vartheta $ ma è una variabile qualsiasi che non dipende da $ vartheta $, l'ultimo termine del secondo membro non sarebbe pari a zero. Commetto quindi un errore (a meno che uno non sia tanto bravo da capirlo anche in questo caso).
Ora te lo faccio:
$ ((d(erf(vartheta))/(dvartheta))|vartheta=0)=2/sqrt(pi)*(d/(dvartheta)vartheta*e^-(vartheta^2)-d/(dvartheta)0*e^-(0^2)+int_(vartheta=0)^(vartheta) d/(dvartheta)e^-(vartheta^2)dvartheta)|vartheta=0 $
come vedi se non facessi attenzione a dire che l'estremo di integrazione non è $ vartheta $ ma è una variabile qualsiasi che non dipende da $ vartheta $, l'ultimo termine del secondo membro non sarebbe pari a zero. Commetto quindi un errore (a meno che uno non sia tanto bravo da capirlo anche in questo caso).
Un piccolo contributo ...
In teoria la questione è semplice (si fa per dire ...
)
Poniamo tu abbia una retta, per esempio $f(x)=x+1$ ... anche se la scrivessi così $f(t)=t+1$ sempre la stessa retta sarebbe ...
Mettiamo che tu voglia calcolare l'area sottesa alla retta fino all'asse delle ascisse tra i punti $a$ e $b$, allora calcolerai l'integrale definito $int_a^b f(t)\ dt$.
Se tu adesso volessi costruire la funzione integrale (NON l'integrale) non farai altro che prendere l'integrale così definito e porre la variabile della funzione al posto di $b$ ossia $F(x)=int_a^x f(t)\ dt$ ... come vedi la variabile della funzione integrale non c'entra nulla con la variabile della funzione integranda ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
In teoria la questione è semplice (si fa per dire ...
)Poniamo tu abbia una retta, per esempio $f(x)=x+1$ ... anche se la scrivessi così $f(t)=t+1$ sempre la stessa retta sarebbe ...
Mettiamo che tu voglia calcolare l'area sottesa alla retta fino all'asse delle ascisse tra i punti $a$ e $b$, allora calcolerai l'integrale definito $int_a^b f(t)\ dt$.
Se tu adesso volessi costruire la funzione integrale (NON l'integrale) non farai altro che prendere l'integrale così definito e porre la variabile della funzione al posto di $b$ ossia $F(x)=int_a^x f(t)\ dt$ ... come vedi la variabile della funzione integrale non c'entra nulla con la variabile della funzione integranda ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Un piccolo contributo ...
In teoria la questione è semplice (si fa per dire ...
Poniamo tu abbia una retta, per esempio $f(x)=x+1$ ... anche se la scrivessi così $f(t)=t+1$ sempre la stessa retta sarebbe ...
Mettiamo che tu voglia calcolare l'area sottesa alla retta fino all'asse delle ascisse tra i punti $a$ e $b$, allora calcolerai l'integrale definito $int_a^b f(t)\ dt$.
Se tu adesso volessi costruire la funzione integrale (NON l'integrale) non farai altro che prendere l'integrale così definito e porre la variabile della funzione al posto di $b$ ossia $F(x)=int_a^x f(t)\ dt$ ... come vedi la variabile della funzione integrale non c'entra nulla con la variabile della funzione integranda ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex
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