Norme L^2
Salve ragazzi ho un problema (e non riesco a capire dove sbaglio) con il seguente esercizio:
verificare che la funzione $ f(x)=(x^2-3)^(-1/3 $ non appartenga a $ L^2(R) $.
Allora ho scritto in primis la norma ($ L^2(R) $ al quadrato):
$ ||f|| ^2 =int_(-oo )^(+oo ) |f|^2 dx $. A questo punto devo studiare la sommabilità al finito e all'infinito. Poichè la funzione è pari, mi concentro solo tra 0 e infinito.
La singolarità al finito è $ sqrt(3) $ dove
$ f^2(x)~ 1/|x-sqrt(3) |^(2/3 $
2/3<1 per cui converge
All'infinito invece
$ f^2(x)~ 1/|x |^(4/3 $
4/3>1 per cui converge.
Il risultato finale è che mi trovo che la funzione appartenga a L^2.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
verificare che la funzione $ f(x)=(x^2-3)^(-1/3 $ non appartenga a $ L^2(R) $.
Allora ho scritto in primis la norma ($ L^2(R) $ al quadrato):
$ ||f|| ^2 =int_(-oo )^(+oo ) |f|^2 dx $. A questo punto devo studiare la sommabilità al finito e all'infinito. Poichè la funzione è pari, mi concentro solo tra 0 e infinito.
La singolarità al finito è $ sqrt(3) $ dove
$ f^2(x)~ 1/|x-sqrt(3) |^(2/3 $
2/3<1 per cui converge
All'infinito invece
$ f^2(x)~ 1/|x |^(4/3 $
4/3>1 per cui converge.
Il risultato finale è che mi trovo che la funzione appartenga a L^2.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
Ma a me pare tutto a posto... Forse è sbagliato il testo dell'esercizio? Da dov'è preso?
@gugo82 grazie per aver risposto subito.
L'ho preso da qui:
http://www.mat.unimi.it/users/gaeta/FM2/eserc_spazi.pdf
esercizio 2 (la consegna non è proprio questa ma mi sono bloccato sul problema che ho scritto sopra)
Graficandola su "Wolframalpha" sembrerebbe divergere nel punto di singolarità al finito ma non riesco a capire cosa sbagli nella trattazione che ho fatto. Se puoi aiutarmi te ne sarei grato.
L'ho preso da qui:
http://www.mat.unimi.it/users/gaeta/FM2/eserc_spazi.pdf
esercizio 2 (la consegna non è proprio questa ma mi sono bloccato sul problema che ho scritto sopra)
Graficandola su "Wolframalpha" sembrerebbe divergere nel punto di singolarità al finito ma non riesco a capire cosa sbagli nella trattazione che ho fatto. Se puoi aiutarmi te ne sarei grato.
"Gianky":
Graficandola su "Wolframalpha" sembrerebbe divergere nel punto di singolarità al finito ma non riesco a capire cosa sbagli nella trattazione che ho fatto. Se puoi aiutarmi te ne sarei grato.
Che la funzione integranda diverga in \(\pm \sqrt{3}\) è evidente; ma l'integrale è convergente... Quindi non vedo il problema.
Il tuo svolgimento è corretto come ha gia osservato gugo e la risposta all'esercizio è sbagliata (probabilmente si è scordato di elevare al quadrato ... succede). Non c'è niente di male nel fatto che l'integrando diverga in più o meno $\sqrt{3}$, l'importante è che l'integrale converga. Per tranquillizzarti ti riporto l'output di Mathematica:
In[3]:= Integrate[(x^2 - 3)^(-2/3), {x, 0, Infinity}]
Out[3]:=(3 (-1)^(5/6) 3^(1/3) Sqrt[\[Pi]] Gamma[1/3])/Gamma[-(1/6)]
Quindi hai ragione tu
In[3]:= Integrate[(x^2 - 3)^(-2/3), {x, 0, Infinity}]
Out[3]:=(3 (-1)^(5/6) 3^(1/3) Sqrt[\[Pi]] Gamma[1/3])/Gamma[-(1/6)]
Quindi hai ragione tu
Ok perfetto. Grazie a tutti per le risposte date.
Alla prossima!
Alla prossima!
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