Norme in spazi finito dimensionali sono equivalenti.
Ciao a tutti devo dimostrare il teorema del titolo, volevo cheidere se secondo voi può andare bene la dimostrazione che ho fatto.
Perchè ho cercato su internet qualche dimostrazione con la quale compararla; ma quelle che ho trovato utilizzano tutte una base per lo spazio vettoriale, mentre io non la ho utilizzata. Però ha dato per scontato che la bolla di raggio 1 di una norma (o meglio: della metrica indotta dalla norma) in uno spazio finito-dimensionale è compatta. La scrivo che forse è più chiaro:
Chiamo $\mathcal{V}$ lo s.v. e $|\cdot|_0$ una norma, evoglio far vedere che tutte le norme $|\cdot|$ sono equivalenti alla $|\cdot|_0$.
Mostriamo che ogni norma è continua:
Sia $\bar{x_0}\in\mathcal{V}$ allora $\forall\epsilon>0$ poniamo $\delta<\epsilon$ quindi ci basta prendere $\bar{y}=\bar{x_0}+\delta\bar{x}\quad\forall\bar{x}\in\{\bar{x}\in\mathcal{V}:\quad|\bar{x}|=1\}$ e abbiamo la tesi.
Prendiamo un $\bar{x}\in \mathcal{V}\setminus\{0\}$, perchè per $0$ è banale, allora
$|\bar{x}|=|\bar{x}|\frac{|\bar{x}|_0}{|\bar{x}|_0}=|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}||\bar{x}|_0\leq C|\bar{x}|_0$
$C=\min_{\bar{x}\in\mathcal{V}\setminus{0}}|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}|$
$C$ esiste ed è diversa da $0$ perchè $\|\cdot|$ è continua e il dominio della funzione è un compatto in $\mathcal{V}$ (è la bolla di raggio 1 nella distanza indotta dalla norma $|\cdot|_0$).
Il viceversa è uguale.
Perchè ho cercato su internet qualche dimostrazione con la quale compararla; ma quelle che ho trovato utilizzano tutte una base per lo spazio vettoriale, mentre io non la ho utilizzata. Però ha dato per scontato che la bolla di raggio 1 di una norma (o meglio: della metrica indotta dalla norma) in uno spazio finito-dimensionale è compatta. La scrivo che forse è più chiaro:
Chiamo $\mathcal{V}$ lo s.v. e $|\cdot|_0$ una norma, evoglio far vedere che tutte le norme $|\cdot|$ sono equivalenti alla $|\cdot|_0$.
Mostriamo che ogni norma è continua:
Sia $\bar{x_0}\in\mathcal{V}$ allora $\forall\epsilon>0$ poniamo $\delta<\epsilon$ quindi ci basta prendere $\bar{y}=\bar{x_0}+\delta\bar{x}\quad\forall\bar{x}\in\{\bar{x}\in\mathcal{V}:\quad|\bar{x}|=1\}$ e abbiamo la tesi.
Prendiamo un $\bar{x}\in \mathcal{V}\setminus\{0\}$, perchè per $0$ è banale, allora
$|\bar{x}|=|\bar{x}|\frac{|\bar{x}|_0}{|\bar{x}|_0}=|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}||\bar{x}|_0\leq C|\bar{x}|_0$
$C=\min_{\bar{x}\in\mathcal{V}\setminus{0}}|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}|$
$C$ esiste ed è diversa da $0$ perchè $\|\cdot|$ è continua e il dominio della funzione è un compatto in $\mathcal{V}$ (è la bolla di raggio 1 nella distanza indotta dalla norma $|\cdot|_0$).
Il viceversa è uguale.
Risposte
Se chiamiamo le norme $|*|, |*|_0$, per me bisogna mostrare che:
a) la sfera unitaria di $|*|_0$ è compatta;
b) la $|*|$ è continua rispetto a $|*|_0$.
Il resto, come lo hai impostato tu mi pare vada bene, solo che il punto a) lo hai dato per scontato e il punto b) non l'ho capito.
P.S.: Tieni presente che io sono un neofita di queste cose.
Cito un'altra traccia di dimostrazione, che usa risultati più avanzati: se mostriamo che ogni spazio normato di dimensione finita è completo, avremo poi come conseguenza del teorema della applicazione aperta che una applicazione lineare continua e invertibile ha l'inversa continua. Segue da qui che due norme confrontabili saranno automaticamente equivalenti; perciò una volta verificato che $|x|<=C|x|_0$ per una costante $C$ avremo finito. E questa ultima disuguaglianza è praticamente il punto b) di sopra.
Hope this helps
a) la sfera unitaria di $|*|_0$ è compatta;
b) la $|*|$ è continua rispetto a $|*|_0$.
Il resto, come lo hai impostato tu mi pare vada bene, solo che il punto a) lo hai dato per scontato e il punto b) non l'ho capito.
P.S.: Tieni presente che io sono un neofita di queste cose.
Cito un'altra traccia di dimostrazione, che usa risultati più avanzati: se mostriamo che ogni spazio normato di dimensione finita è completo, avremo poi come conseguenza del teorema della applicazione aperta che una applicazione lineare continua e invertibile ha l'inversa continua. Segue da qui che due norme confrontabili saranno automaticamente equivalenti; perciò una volta verificato che $|x|<=C|x|_0$ per una costante $C$ avremo finito. E questa ultima disuguaglianza è praticamente il punto b) di sopra.
Hope this helps
ciao dissonance,
per il punto b) in pratica dobbiamo far vedere che se parto da due punti vicini in ${\mathcal{V}}$ arrivo a due punti vicini di $\mathbb{R}^+$ perchè la norma va da $|\cdot\\colon\mathcal{V}\to\mathbb{R}+$
riprendo da quello che ho già scritto:
$x_0\in\\mathcal{V}$ scegliamo $\epsilon>0$ poniamo $\delta<\epsilon$ prendiamo $y\in\mathcal{B}_{delta}(x_0)$ allora
$|(||x_0||-||y||)|\leq|(||x_0||-||x_0+\delta x||)|\leq|(||x_0||-||x_0||+|\delta|||x||)|=\delta<\epsilon$
ricordo che $||x||=1$.
mentre per il punto a) ho bisogno di pensarci; infatti era li che nutrivo il dubbio.
per il punto b) in pratica dobbiamo far vedere che se parto da due punti vicini in ${\mathcal{V}}$ arrivo a due punti vicini di $\mathbb{R}^+$ perchè la norma va da $|\cdot\\colon\mathcal{V}\to\mathbb{R}+$
riprendo da quello che ho già scritto:
$x_0\in\\mathcal{V}$ scegliamo $\epsilon>0$ poniamo $\delta<\epsilon$ prendiamo $y\in\mathcal{B}_{delta}(x_0)$ allora
$|(||x_0||-||y||)|\leq|(||x_0||-||x_0+\delta x||)|\leq|(||x_0||-||x_0||+|\delta|||x||)|=\delta<\epsilon$
ricordo che $||x||=1$.
mentre per il punto a) ho bisogno di pensarci; infatti era li che nutrivo il dubbio.
Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va nella tua dimostrazione del punto b). Infatti, se non ho capito male, tu non usi il fatto che lo spazio abbia dimensione finita. Quindi avresti dimostrato che:
(*) in ogni spazio normato, comunque prendiamo due norme una è continua rispetto all'altra.
Correggimi se sbaglio.
Ma la (*) credo sia falsa se cade la dimensione finita. Per un esempio starei pensando ai polinomi.
Diciamo $P$ lo spazio dei polinomi (funzioni polinomiali se vogliamo essere puntigliosi) definiti in $[0, 1/2]$. Su $P$ mettiamo due norme: una è $||*||_infty$; l'altra la definiamo così: $||a_0+a_1x+...a_nx^n||=|a_0|+|a_1|+...+|a_n|$. Una sorta di "norma 1" dei coefficienti.
Mi pare che la seconda norma non sia continua rispetto alla prima. Stavo pensando (ma non ho verificato) che la successione di polinomi
$[1], [1/2+1/2x], [1/3+1/3x+1/3x^2], ..., [1/n+1/nx+...+1/nx^(n-1)], ...$
converge a 0 rispetto a $||*||_infty$ (ovvero converge uniformemente a zero in $[0, 1/2]$) ma evidentemente non fa altrettanto rispetto alla norma $||*||$, dal momento che $||1/n+1/nx+...+1/nx^(n-1)||=1$ per ogni $n$.
(*) in ogni spazio normato, comunque prendiamo due norme una è continua rispetto all'altra.
Correggimi se sbaglio.
Ma la (*) credo sia falsa se cade la dimensione finita. Per un esempio starei pensando ai polinomi.
Diciamo $P$ lo spazio dei polinomi (funzioni polinomiali se vogliamo essere puntigliosi) definiti in $[0, 1/2]$. Su $P$ mettiamo due norme: una è $||*||_infty$; l'altra la definiamo così: $||a_0+a_1x+...a_nx^n||=|a_0|+|a_1|+...+|a_n|$. Una sorta di "norma 1" dei coefficienti.
Mi pare che la seconda norma non sia continua rispetto alla prima. Stavo pensando (ma non ho verificato) che la successione di polinomi
$[1], [1/2+1/2x], [1/3+1/3x+1/3x^2], ..., [1/n+1/nx+...+1/nx^(n-1)], ...$
converge a 0 rispetto a $||*||_infty$ (ovvero converge uniformemente a zero in $[0, 1/2]$) ma evidentemente non fa altrettanto rispetto alla norma $||*||$, dal momento che $||1/n+1/nx+...+1/nx^(n-1)||=1$ per ogni $n$.
Per quanto riguarda a), c'è il teorema di Riesz:
Uno spazio di Banach è a dimensione finita se e solo se la palla unitaria è a chiusura (sequenzialmente) compatta.
Volendo a) si può anche dimostrare direttamente, penso. Naturalmente il teorema di Riesz ci darebbe il "se e solo se", ma a noi serve molto meno.
Un'idea (anche abbastanza banale): sia $V$ uno spazio normato di dimensione finita. Allora possiamo prendere una base algebrica $e_1, ...,e_n$, supponiamo $||e_i||=1, \foralli$. Questo determina un omeomorfismo lineare $phi: V\toRR^n$ (o $CC^n$ se lo spazio è complesso), definito da $phi(lambda_1e_1+...+lambda_n e_n)=(lambda_1, ..., lambda_n)$. Da qui dovremmo trovare un intorno dello 0 di $V$ corrispondente alla palla unitaria di $RR^n$, e pertanto a chiusura compatta. Seguirà (per traslazioni e omotetie) che ogni palla aperta di $V$ ha la chiusura compatta.
Un'idea (anche abbastanza banale): sia $V$ uno spazio normato di dimensione finita. Allora possiamo prendere una base algebrica $e_1, ...,e_n$, supponiamo $||e_i||=1, \foralli$. Questo determina un omeomorfismo lineare $phi: V\toRR^n$ (o $CC^n$ se lo spazio è complesso), definito da $phi(lambda_1e_1+...+lambda_n e_n)=(lambda_1, ..., lambda_n)$. Da qui dovremmo trovare un intorno dello 0 di $V$ corrispondente alla palla unitaria di $RR^n$, e pertanto a chiusura compatta. Seguirà (per traslazioni e omotetie) che ogni palla aperta di $V$ ha la chiusura compatta.
A me sembra che sia corretta; sto dimostrando che ogni norma è continua rispetto alla topologia che induce, indipendentemente dalle dimensioni.
Quello che dimostro in b) è:
Ogni norma è continua rispetto alla topologia indotta dalla norma stessa.
Non capisco quello che intendi sul fatto che è continua rispetto ad un altra norma..
Quando nella dimostrazione prendo il
$\min_{x\in\mathcal{V}}|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}|$
la funzione che considero è:
$|\cdot|:\mathcal{B}\to[0,+\infty)$
dove $\mathcal{B}={x\in\mathcal{V}:\quad|x|_0=1}\subset\mathcal{V}$
non sto richiedendo che le due norme siano continue una rispetto all'altra però mi hai fatto pensare che sto dando per scontato che $\mathcal{B}$ sia compatta nella topologia indotta dalla norma $|\cdot||$.
Se è questo che intendevi hai ragione.
La cosa migliore è dimostrare che lo spazio $\mathcal{V}$ con base ${e_1,\cdots,e_n}$ ogni norma è equivalente alla norma $|\bar{x}|_0=|x_1|+\cdots+|x_n|$. Mostrando prima che se prendiamo un altra norma $||\cdot||$ allora
poniamo $k=\max{||e_1||,\cdots,||e_n||}\cdot n
$||\bar{x}||\leq|x_1| ||e_1||+\cdots+|x_n|||e_n||\leq k|\bar{x}|_0$
ora il viceversa si dimostra come sopra perchè ora siamo sicuri che $\mathcal{B}$ sia compatto perchè è chiuso e limitato.
Quindi se dimostriamo che ogni chiuso e limitato è compatto, in spazi metrici finito dimensionali abbiamo concluso(il viceversa è banale).
Quindi bisogna far che vedera che la bolla chiusa unitaria è compatta.
Il teorema di Riesz come dice dissonanca è ben più profondo, penso che venga dopo al fatto che i chiusi e limitati sono compatti (sempre in spazi finito dimensionali)
Il problma dissonance è che io sto considerando spazi finito dimensionali generici quindi incluso $RR^n$ come sottocaso; do solo per scontato che $RR$ e i compatti di $RR$ sono completi. Perchè queste sono cose che si dimostrano in analisi 1.
Quello che voglio far vedere è che ogni successione in un chiuso e limitato ammette sottosuccessione convergente. Ma pensavo fosse più semplice invece...
Quello che dimostro in b) è:
Ogni norma è continua rispetto alla topologia indotta dalla norma stessa.
Non capisco quello che intendi sul fatto che è continua rispetto ad un altra norma..
Quando nella dimostrazione prendo il
$\min_{x\in\mathcal{V}}|\frac{\bar{x}}{|\bar{x}|_0}|$
la funzione che considero è:
$|\cdot|:\mathcal{B}\to[0,+\infty)$
dove $\mathcal{B}={x\in\mathcal{V}:\quad|x|_0=1}\subset\mathcal{V}$
non sto richiedendo che le due norme siano continue una rispetto all'altra però mi hai fatto pensare che sto dando per scontato che $\mathcal{B}$ sia compatta nella topologia indotta dalla norma $|\cdot||$.
Se è questo che intendevi hai ragione.
La cosa migliore è dimostrare che lo spazio $\mathcal{V}$ con base ${e_1,\cdots,e_n}$ ogni norma è equivalente alla norma $|\bar{x}|_0=|x_1|+\cdots+|x_n|$. Mostrando prima che se prendiamo un altra norma $||\cdot||$ allora
poniamo $k=\max{||e_1||,\cdots,||e_n||}\cdot n
$||\bar{x}||\leq|x_1| ||e_1||+\cdots+|x_n|||e_n||\leq k|\bar{x}|_0$
ora il viceversa si dimostra come sopra perchè ora siamo sicuri che $\mathcal{B}$ sia compatto perchè è chiuso e limitato.
Quindi se dimostriamo che ogni chiuso e limitato è compatto, in spazi metrici finito dimensionali abbiamo concluso(il viceversa è banale).
Quindi bisogna far che vedera che la bolla chiusa unitaria è compatta.
Il teorema di Riesz come dice dissonanca è ben più profondo, penso che venga dopo al fatto che i chiusi e limitati sono compatti (sempre in spazi finito dimensionali)
Il problma dissonance è che io sto considerando spazi finito dimensionali generici quindi incluso $RR^n$ come sottocaso; do solo per scontato che $RR$ e i compatti di $RR$ sono completi. Perchè queste sono cose che si dimostrano in analisi 1.
Quello che voglio far vedere è che ogni successione in un chiuso e limitato ammette sottosuccessione convergente. Ma pensavo fosse più semplice invece...
"Augosoma":
Non capisco quello che intendi sul fatto che è continua rispetto ad un altra norma..
...
non sto richiedendo che le due norme siano continue una rispetto all'altra però mi hai fatto pensare che sto dando per scontato che $\mathcal{B}$ sia compatta nella topologia indotta dalla norma $|\cdot||$.
Se è questo che intendevi hai ragione.
Sono maniere diverse di esprimere lo stesso problema. Il fatto è che:
se $\mathcal{B}$ è compatta rispetto alla topologia di $|*|_0$ (uso i tuoi simboli del primo post), questo non significa necessariamente che $|*|$ abbia minimo e massimo su $\mathcal{B}$. Perché succeda questo l'applicazione $x\mapsto|x|$ deve essere continua rispetto alla topologia di $|*|_0$.
***Oppure***
l'applicazione $x\mapsto|x|$ deve essere continua rispetto alla topologia di $|*|$ e $\mathcal{B}$ deve essere compatta rispetto alla topologia di $|*|$.
Insomma, per avere il risultato voluto c'è da mostrare che $|*|$ è continua nella stessa topologia in cui $\mathcal{B}$ è compatta.
A questo proposito il mio post precedente voleva essere una osservazione: non è sempre vero che una norma $|*|$ sia continua rispetto alla topologia di un'altra norma $|*|_0$. Per esempio nei polinomi che dicevo sopra questo non succede; l'esempio che ho scritto (se non è sbagliato) mostra due norme, una delle quali non è continua nella topologia indotta dall'altra. Chiaramente l'esempio di sopra non è uno spazio di dimensione finita.
"Augosoma":
La cosa migliore è dimostrare che lo spazio $\mathcal{V}$ con base ${e_1,\cdots,e_n}$ ogni norma è equivalente alla norma $|\bar{x}|_0=|x_1|+\cdots+|x_n|$. Mostrando prima che se prendiamo un altra norma $||\cdot||$ allora
poniamo $k=\max{||e_1||,\cdots,||e_n||}\cdot n
$||\bar{x}||\leq|x_1| ||e_1||+\cdots+|x_n|||e_n||\leq k|\bar{x}|_0$
(Bisogna aggiungere che $||e_i||=1$ per ogni $i=1,..., n$)
Benissimo; questo ci servirà. Adesso abbiamo ottenuto un ramo della disuguaglianza della tesi, e cioè
$||x||<=K|x|_0$ per una costante $K$. Serve ora l'altro ramo. Io procederei così:
1) Osserviamo che da $||x||<=K|x|_0$ segue $||x-y||<=K|x-y|_0$, da cui $||*||$ è Lipschitziana e quindi continua nella topologia indotta da $|*|_0$.
2) Resta solo da mostrare che, detta $\mathcal{B}$ la sfera unitaria rispetto alla $|*|_0$, risulta che $\mathcal{B}$ è compatta rispetto alla topologia di $|*|_0$.
A questo punto potremo dire che $||*||$ ha massimo e minimo su $\mathcal{B}$ e seguirà la tesi.
Forse ho trovato:
Prendiamo $\mathcal{M}\in\mathcal{V}$ chiuso e limitato ed una successione $x_k$
Essendo limitato esiste M t.c. $M\geq||x_k||\geq||x_k^1||$ (*)
dove con $||x_k^1||$ ho considerato la prima componente sulla base di $\mathcal{V}$ quindi da (*) abbiamo una successione limitata e possiamo estrarre sottosuccessione convergente per la prima componente; chiamiamola ${x_{k_1}}$.
Ora ripetimo il ragionamento con questa successione per la componente 2 cosìda estrarre un'altra sottosuccessione convergente ${x_{k_2}}$.
Iteriamo pure con questa e così via sino alla n-sima componente..
Alla fine troviamo una sottosuccessione {x_{k_n}} che converge per ogni componente.
Ed essendo contenuta in $\mathcal{M}$ chiuso, contiene tutti i suoi punti di accomulazione, convergerà in $\mathcal{M}$.
Speriamo non ci siamo buchi..
Attendo il vostro parere..
Prendiamo $\mathcal{M}\in\mathcal{V}$ chiuso e limitato ed una successione $x_k$
Essendo limitato esiste M t.c. $M\geq||x_k||\geq||x_k^1||$ (*)
dove con $||x_k^1||$ ho considerato la prima componente sulla base di $\mathcal{V}$ quindi da (*) abbiamo una successione limitata e possiamo estrarre sottosuccessione convergente per la prima componente; chiamiamola ${x_{k_1}}$.
Ora ripetimo il ragionamento con questa successione per la componente 2 cosìda estrarre un'altra sottosuccessione convergente ${x_{k_2}}$.
Iteriamo pure con questa e così via sino alla n-sima componente..
Alla fine troviamo una sottosuccessione {x_{k_n}} che converge per ogni componente.
Ed essendo contenuta in $\mathcal{M}$ chiuso, contiene tutti i suoi punti di accomulazione, convergerà in $\mathcal{M}$.
Speriamo non ci siamo buchi..
Attendo il vostro parere..
Quindi applichi Bolzano-Weierstrass alle singole componenti della successione. Essendo queste in numero finito, tutto fila liscio e hai che ogni chiuso e limitato è compatto. Giusto, e anche meglio della mia idea di importare la compattezza locale da $RR^n$.
Sembra che ce l'abbiamo fatta, ora dovrebbe essere a posto anche l'altro teorema, ti ringrazio dell'aiuto..
Alla prossima e magari ricambierò il favore.
Ciao
Alla prossima e magari ricambierò il favore.
Ciao
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