Norme equivalenti in spazi di funzioni
Ciao a tutti!
Mi è stato assegnato un esercizio che mi sta dando un po' di problemi:
mi si dice di considerare le norme $||f||_infty$ e $||f||_1 = \int_a^b|f(x)|dx$ prima sullo spazio $C^0([a,b])$, poi su quello delle funzioni continue ma A SUPPORTO COMPATTO in $RR$ e di discuterne l'eventuale equivalenza a livello topologico (capire se gli aperti della topologia indotta da una delle due norme contengono gli aperti dell'altra e viceversa).
Diciamo che per il primo spazio so che la norma-infinito lo rende di Banach, mentre la norma integrale no, dunque non sono equivalenti, anche se non so spiegarlo a livello di "bolle", mentre per il secondo spazio, vuoto totale. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie a tutti
Mi è stato assegnato un esercizio che mi sta dando un po' di problemi:
mi si dice di considerare le norme $||f||_infty$ e $||f||_1 = \int_a^b|f(x)|dx$ prima sullo spazio $C^0([a,b])$, poi su quello delle funzioni continue ma A SUPPORTO COMPATTO in $RR$ e di discuterne l'eventuale equivalenza a livello topologico (capire se gli aperti della topologia indotta da una delle due norme contengono gli aperti dell'altra e viceversa).
Diciamo che per il primo spazio so che la norma-infinito lo rende di Banach, mentre la norma integrale no, dunque non sono equivalenti, anche se non so spiegarlo a livello di "bolle", mentre per il secondo spazio, vuoto totale. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie a tutti
Risposte
Per il secondo spazio considera non puoi avere strani fenomeni all'infinito, dato che il supporto è compatto, quindi...
Beh, dato che banalmente hai:
\[
\tag{1} \| f\|_{1,(a,b)} \leq \| f\|_{\infty, (a,b)}\cdot (b-a)
\]
è evidente che \(\|f-f_0\|_{\infty, (a,b)} < r\) implica \(\|f-f_0\|_{1,(a,b)} < r(b-a)\), cosicché ogni \(L^\infty\)-"palla" di \(C(a,b)\) è contenuta in una \(L^1\)-"palla".
Il viceversa non è vero, poiché se ogni \(L^1\)-"palla" di \(C(a,b)\) fosse contenuta in una \(L^\infty\)-"palla", tutte le successioni di funzioni convergenti in norma \(L^1\) verso, ad esempio, la funzione nulla dovrebbero convergere anche uniformemente... Ma ciò è palesemente falso, come provano miriadi di controesempi costruibili "artigianalmente".[nota]Ad esempio...
Ciò vuol dire che le \(L^1\)-"palle" sono più grandi delle \(L^\infty\)-"palle" e questo fatto ha ovvie ripercussioni topologiche.
In \(C_c(\mathbb{R})\), per gli stessi motivi di prima hai che le \(L^1\)-"palle" non sono contenute nelle \(L^\infty\)-"palle".
D'altra parte, al posto della (1) trovi:
\[
\tag{2}
\| f\|_{1,\mathbb{R}} \leq \| f\|_{\infty,\mathbb{R}}\cdot \underbrace{m\left(\operatorname{supp} f \right)}_{\text{misura del } \operatorname{supp} f}
\]
con la costante al secondo membro che dipende pesantemente dalla scelta di \(f\), sicché perdi l'uniformità presente nella stima (1).
Questo fatto ha forti ripercussioni topologiche, poiché non puoi più esser sicuro che tutti gli elementi di una \(L^\infty\)-"palla" siano contenuti in una stessa \(L^1\)-"palla".
Ad esempio, considera le funzioni:
\[
f_n(x) := \begin{cases} 1-\frac{1}{n^2}\ x^2 &\text{, se } |x|\leq n \\ 0 &\text{, se } |x|\geq n\; ;\end{cases}
\]
esse stanno tutte nella \(L^\infty\)-"palla" di centro la funzione nulla \(f(x):=0\) e raggio \(1\), ma si ha[nota]Se non ricordo male il teorema di Archimede sull'area di un segmento parabolico... Controlla.
[/nota]:
\[
\| f_n \|_{1,\mathbb{R}} = \frac{4}{3}\ n
\]
e tale norma cresce oltre ogni limite all'aumentare di \(n\), cosicché non esiste alcuna \(L^1\)-"palla" di centro \(f\) che contenga tutte le \(f_n\).
\[
\tag{1} \| f\|_{1,(a,b)} \leq \| f\|_{\infty, (a,b)}\cdot (b-a)
\]
è evidente che \(\|f-f_0\|_{\infty, (a,b)} < r\) implica \(\|f-f_0\|_{1,(a,b)} < r(b-a)\), cosicché ogni \(L^\infty\)-"palla" di \(C(a,b)\) è contenuta in una \(L^1\)-"palla".
Il viceversa non è vero, poiché se ogni \(L^1\)-"palla" di \(C(a,b)\) fosse contenuta in una \(L^\infty\)-"palla", tutte le successioni di funzioni convergenti in norma \(L^1\) verso, ad esempio, la funzione nulla dovrebbero convergere anche uniformemente... Ma ciò è palesemente falso, come provano miriadi di controesempi costruibili "artigianalmente".[nota]Ad esempio...
[/nota]
Ciò vuol dire che le \(L^1\)-"palle" sono più grandi delle \(L^\infty\)-"palle" e questo fatto ha ovvie ripercussioni topologiche.
In \(C_c(\mathbb{R})\), per gli stessi motivi di prima hai che le \(L^1\)-"palle" non sono contenute nelle \(L^\infty\)-"palle".
D'altra parte, al posto della (1) trovi:
\[
\tag{2}
\| f\|_{1,\mathbb{R}} \leq \| f\|_{\infty,\mathbb{R}}\cdot \underbrace{m\left(\operatorname{supp} f \right)}_{\text{misura del } \operatorname{supp} f}
\]
con la costante al secondo membro che dipende pesantemente dalla scelta di \(f\), sicché perdi l'uniformità presente nella stima (1).
Questo fatto ha forti ripercussioni topologiche, poiché non puoi più esser sicuro che tutti gli elementi di una \(L^\infty\)-"palla" siano contenuti in una stessa \(L^1\)-"palla".
Ad esempio, considera le funzioni:
\[
f_n(x) := \begin{cases} 1-\frac{1}{n^2}\ x^2 &\text{, se } |x|\leq n \\ 0 &\text{, se } |x|\geq n\; ;\end{cases}
\]
esse stanno tutte nella \(L^\infty\)-"palla" di centro la funzione nulla \(f(x):=0\) e raggio \(1\), ma si ha[nota]Se non ricordo male il teorema di Archimede sull'area di un segmento parabolico... Controlla.
[/nota]:\[
\| f_n \|_{1,\mathbb{R}} = \frac{4}{3}\ n
\]
e tale norma cresce oltre ogni limite all'aumentare di \(n\), cosicché non esiste alcuna \(L^1\)-"palla" di centro \(f\) che contenga tutte le \(f_n\).
Grazie mille, ora è tutto molto chiaro! Ho controllato ed è effettivamente il teorema di Archimede In ogni caso spero ci siano controesempi più intuitivi di quello dei "cappelli da strega" :O
In ogni caso spero ci siano controesempi più intuitivi di quello dei "cappelli da strega" :O
"lukath":
In ogni caso spero ci siano controesempi più intuitivi di quello dei "cappelli da strega" :O
Le witch-hat functions si usano per controesempi standard, quindi faresti bene a capire come sono costruite...
Ed, in realtà, la costruzione è molto semplice dal punto di vista geometrico: si scelgono un punto a casaccio \(x_0\) sulla retta reale e due successioni \((d_n)\) ed \((h_n)\) di numeri positivi[nota]Di solito, la scelta ricade su successioni tali che \(d_n\to 0\), \(h_n\to +\infty\) e \(d_n\cdot h_n\) abbia un comportamento "ad hoc".[/nota], poi si costruisce la funzione \(f_n\) in modo che il rettangoloide subordinato al suo grafico coincida con quello della funzione nulla a cui è aggiunto il triangolo isoscele con base il segmento \([x_0-d_n ,x_0+d_n]\) ed altezza relativa \(h_n\).
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
path([[-1,0],[2.25,0],[2.5,5],[2.75,0],[6,0]]);
text([2.5,0],"x0",below); text([2.25,0],"x0-dn",belowleft); text([2.75,0],"x0+dn",belowright);
text([0,5],"hn",left);[/asvg]
In tal modo hai sempre \(\| f_n\|_\infty =h_n\) e \(\| f_n\|_1 = d_n\cdot h_n\).
Nella costruzione del controesempio precedente ho scelto \(x_0=\frac{a+b}{2}\) (punto medio dell'intervallo \((a,b)\)), \(d_n=3^{-n}\) ed \(h_n=2^n\), di modo che:
\[
\lim_n \| f_n\|_\infty = +\infty\qquad \text{e}\qquad \lim_n \| f_n\|_1 =0\; .
\]
Ah ok, quindi aumentando $n$ io restringo sempre di più la base del triangolo isoscele e ne aumento l'altezza, e così facendo ottengo $||f_n||_1 \to 0$ e $||f_n||_infty \to +infty$, per $n \to +infty$. Ultima domanda: se considero lo spazio $C^0 (a,b)$ posso dire che la topologia indotta dalla norma_1 è strettamente meno fine di quella indotta dalla norma-infinito?
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