Norme equivalenti
Ciao a tutti!!! Devo dimostrare l'equivalenza delle due norme
\(\Vert f\Vert_1=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{1+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2\)
e
\(\Vert f\Vert_2=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2\)
con $\lambda>0$ e $\hat{f}$ trasformata di Fourier.
Io ho pensato di fare
\(\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\frac{\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}}{\sqrt{1+\vert k\vert^2}}\vert\hat{f}(k)\vert^2\sqrt{1+\vert k\vert^2}\)
A questo punto osservo che la funzione
\( f(r)=\sqrt{\frac{\lambda+r^2}{1+r^2}}\) è limitata e dovrei aver terminato.
Che ne dite?
\(\Vert f\Vert_1=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{1+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2\)
e
\(\Vert f\Vert_2=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2\)
con $\lambda>0$ e $\hat{f}$ trasformata di Fourier.
Io ho pensato di fare
\(\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}\vert\hat{f}(k)\vert^2=\int_{\mathbb{R}^3}d^3k\frac{\sqrt{\lambda+\vert k\vert^2}}{\sqrt{1+\vert k\vert^2}}\vert\hat{f}(k)\vert^2\sqrt{1+\vert k\vert^2}\)
A questo punto osservo che la funzione
\( f(r)=\sqrt{\frac{\lambda+r^2}{1+r^2}}\) è limitata e dovrei aver terminato.
Che ne dite?
Risposte
Non basta, devi dimostrare pure che $f$ si tiene lontana da zero. Ti serve una disuguaglianza come questa:
\[
0
Ps: Se vuoi che \(\lVert\cdot\rVert_1\) e \(\lVert \cdot \rVert_2\) siano vere norme ti conviene mettere una radice quadrata nella definizione, altrimenti butti via l'omogeneità (prova a vedere quanto vale \(\lVert 2f\rVert_1\), per esempio).
\[
0
Ps: Se vuoi che \(\lVert\cdot\rVert_1\) e \(\lVert \cdot \rVert_2\) siano vere norme ti conviene mettere una radice quadrata nella definizione, altrimenti butti via l'omogeneità (prova a vedere quanto vale \(\lVert 2f\rVert_1\), per esempio).
Hai ragione; quelle che ho scritto sono le norme al quadrato ( la prima è il quadrato dell'usuale norma di $H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$
Per quanto riguarda la seconda osservazione, quando ho scritto che $f$ [ limitata intendevo proprio la tua disuguaglianza...infatti tale funzione non si annulla mai.
Per quanto riguarda la seconda osservazione, quando ho scritto che $f$ [ limitata intendevo proprio la tua disuguaglianza...infatti tale funzione non si annulla mai.
Si ma ancora non basta. "Non si annulla mai" non esclude che possa diventare piccola a volontà. Per esempio,
\[ f(r)=\frac{1}{r}\]
non si annulla mai.
\[ f(r)=\frac{1}{r}\]
non si annulla mai.
Hai ragione; ma la funzione $f(r)=sqrt{\frac{r^2+\lambda}{r^2+1}}$ vale $\sqrt{\lambda}$ in $r=0$ e $\lim_{r\to\infty}f(r)=1$. Quindi $\sqrt{\lambda}\leq f(r)\leq 1$ se $\lambda<1$ (lo studio della derivata ci dice che si tratta di una funzione strettamente crescente se $r>0$) altrimenti vale la disuguaglianza opposta. Quindi esistono due costanti positive che la limitano.
Ok, perfetto.
Ti ringrazio delle risposte!!!
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