Norme e disequazioni

[GuidoFretti1]

Mostrare che dato $T:X->Y$ operatore lineare continuo e $||T||$ norma vale che:

$Sup_(||x||=1) ||Tx||$ $>=$ $Sup_(||x||<=1) ||Tx||$

Non so sicuro della mia dimostrazione, qualcuno può aiutarmi?

Io ho fatto cosi

$Sup_(||x||<=1) ||Tx||$ $<=$ $Sup_(||x||<=1) (||T||*||x||)$
$<=$ $Sup_(||x||=1) ||Tx||$

[edo_pucci]

Ciao Guido, dato che T è lineare e continuo la norma esiste ed è finita. In particolare ci sono diverse definizioni equivalenti di norma, due delle quali sono proprio i membri della disequazione che vuoi dimostrare (che quindi è in particolare un'uguaglianza). Non so da quale definizione di norma sia partito tu, ma se ad esempio parti da questa: \( ||T||:=inf\{C>0| ||Tx||\leqC||x|| \forall x\in X\}\) non è difficile mostrare l'equivalenza con il membro a sinistra della disequazione, una volta fatto questo allora potresti scrivere:
\(sup_{||x||\leq1}||Tx||\leq sup_{||x||\leq1}(||T||||x||)\leq sup_{||x||=1}(||T||||x||)=||T||=sup_{||x||=1}||Tx||\)

Dove nell'ultima uguaglianza ho usato l'equivalenza che ti suggerivo poco fa di provare a dimostrare. In ogni caso puoi anche dimostrare l'equivalenza della definizione con il membro a destra della disequazione, a quel punto avresti dimostrato l'uguaglianza (e quindi anche la disuguaglianza non stretta). Comunque non ho ben chiaro quale sia il tuo background sull'argomento, da quale definizione di norma tu sia partito ecc... se poi avessi difficoltà nel dimostrare le equivalenze tra definizioni di norma a cui ho accennato non farti problemi a chiedere.

[GuidoFretti1]

Grazie mille!

In realtà è una dimostrazione che è entrata in un corso non strettamente riguardante operatori lineari...
Ma è stata più una mia curiosità quella di capire come si dimostrava

[dissonance]

"GuidoFretti":
Io ho fatto cosi

$Sup_(||x||<=1) ||Tx||$ $<=$ $Sup_(||x||<=1) (||T||*||x||)$
$<=$ $Sup_(||x||=1) ||Tx||$

Penso ti sia chiaro che questo che hai fatto è sbagliato. La prima disuguaglianza vale ma la seconda è falsissima.