Norme: banale equivalenza... che non riesco a capire
Sto lavorando sulla stretta convessità delle norme e devo dimostrare che, dato uno spazio normato $(X,||.||)$, il seguenti fatti sono equivalenti:
1) $||x+y||<||x||+||y||$ $\forall x,y: ax\ne by\forall a,b>0, \text{non entrambi nulli}$
2) $||(x+y)/2||<1$ $forall x,y: ||x||=||y||=1, x\ne y$
Ho fatto vedere facilmente che 1) implica 2), ma non riesco a tornare indietro.. provo a normalizzare x e y ma non riesco a concludere niente..
Probabilemente è una banalità, ma proprio non la vedo: mi potete autare?
1) $||x+y||<||x||+||y||$ $\forall x,y: ax\ne by\forall a,b>0, \text{non entrambi nulli}$
2) $||(x+y)/2||<1$ $forall x,y: ||x||=||y||=1, x\ne y$
Ho fatto vedere facilmente che 1) implica 2), ma non riesco a tornare indietro.. provo a normalizzare x e y ma non riesco a concludere niente..
Probabilemente è una banalità, ma proprio non la vedo: mi potete autare?
Risposte
Dunque, spero di non aver perso un pezzo ma:
$||(x+y)/2||<1$ $forall x,y: ||x||=||y||=1, x\ne y$
implica che
$||(x+y)||<2 = ||x||+||y||$
erro?
$||(x+y)/2||<1$ $forall x,y: ||x||=||y||=1, x\ne y$
implica che
$||(x+y)||<2 = ||x||+||y||$
erro?
Ok questo è senz'altro vero, ma io dovrei provare che la disuguaglianza $||x+y||<||x||+||y||$ vale per tutti gli $x,y$ non positivamente proporzionali (anche quelli che non hanno norma 1)
Supponiamo che valga (2); ciò equivale ad assumere che
$(2')\qquad ||w+z|| < ||w|| +||z||$ per ogni $w\ne z$, $||w|| = ||z||$.
Supponiamo per assurdo che esistano $x,y$ non positivamente proporzionali (e dunque non nulli) tali che
$(3)\qquad ||x+y|| = ||x|| + ||y||$.
Consideriamo la funzione $\varphi(t) := ||(1-t)x + ty||$, $t\in [0,1]$; non è difficile verificare che $\varphi$ è convessa.
Abbiamo che $\varphi(0) = ||x||$, $\varphi(1) = ||y||$. Da (3) ricaviamo che $\varphi(1/2) = (1/2) \varphi(0) + (1/2) \varphi(1)$ e dunque dalla convessità di $\varphi$ segue che
$(4)\qquad \varphi(t) = (1-t)\varphi(0) + t\varphi(1)$ per ogni $t\in [0,1]$.
Sia $t_0:= \frac{||x||}{||x|| + ||y||}\in (0,1)$, e siano $w = (1-t_0)x$, $z = t_0 y$; si verifica subito che $w\ne z$ e $||w|| = ||z||$, per cui da (2') deve essere
$\varphi(t_0) = ||w+z|| < ||w|| + ||z|| = (1-t_0) \varphi(0) + t_0 \varphi(1)$,
in contraddizione con (4).
$(2')\qquad ||w+z|| < ||w|| +||z||$ per ogni $w\ne z$, $||w|| = ||z||$.
Supponiamo per assurdo che esistano $x,y$ non positivamente proporzionali (e dunque non nulli) tali che
$(3)\qquad ||x+y|| = ||x|| + ||y||$.
Consideriamo la funzione $\varphi(t) := ||(1-t)x + ty||$, $t\in [0,1]$; non è difficile verificare che $\varphi$ è convessa.
Abbiamo che $\varphi(0) = ||x||$, $\varphi(1) = ||y||$. Da (3) ricaviamo che $\varphi(1/2) = (1/2) \varphi(0) + (1/2) \varphi(1)$ e dunque dalla convessità di $\varphi$ segue che
$(4)\qquad \varphi(t) = (1-t)\varphi(0) + t\varphi(1)$ per ogni $t\in [0,1]$.
Sia $t_0:= \frac{||x||}{||x|| + ||y||}\in (0,1)$, e siano $w = (1-t_0)x$, $z = t_0 y$; si verifica subito che $w\ne z$ e $||w|| = ||z||$, per cui da (2') deve essere
$\varphi(t_0) = ||w+z|| < ||w|| + ||z|| = (1-t_0) \varphi(0) + t_0 \varphi(1)$,
in contraddizione con (4).
Grazie mille Rigel! Non riuscivo ad uscirne..
Sto provando a mettere giù tutti passaggi della tua dimostrazione, ma non riesco a capire perché $\Phi$ sia convessa.
Me puoi far vedere?
Me puoi far vedere?
Siano $a,b\in [0,1]$, e sia $\lambda\in [0,1]$. Abbiamo che
$\phi((1-\lambda)a + \lambda b) = ||[1-(1-\lambda)a-\lambda b]x+[(1-\lambda)a+\lambda b]y|| $
$= ||(1-\lambda)[(1-a)x+ay] + \lambda[(1-b)x+by]||$
$\le (1-\lambda)||(1-a)x+ay|| + \lambda||(1-b)x+by]|| $
$= (1-\lambda)\phi(a) + \lambda \phi(b)$.
$\phi((1-\lambda)a + \lambda b) = ||[1-(1-\lambda)a-\lambda b]x+[(1-\lambda)a+\lambda b]y|| $
$= ||(1-\lambda)[(1-a)x+ay] + \lambda[(1-b)x+by]||$
$\le (1-\lambda)||(1-a)x+ay|| + \lambda||(1-b)x+by]|| $
$= (1-\lambda)\phi(a) + \lambda \phi(b)$.
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