Normalizzazione Polinomi Associati di Laguerre
Mi piacerebbe riuscire a dimostrare l'ortogonalità
[tex]\int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} L_q^k(x) L_p^k(x) dx= A\, \delta_{pq}[/tex]
Dunque, partiamo da quello che so:
[tex]L_q(x)=e^x \frac{d^q}{dx^q} \left( e^{-x} x^q\right)[/tex] sono i polinomi di Laguerre definiti su [tex][0,+\infty)[/tex]
sono polinomi ortogonali rispetto alla "funzione metrica" [tex]e^{-x}[/tex]
[tex]\int_0^\infty L_q(x) L_p(x) e^{-x} dx=(q!)^2 \delta_{pq}[/tex]
I polinomi associati sono definiti
[tex]L_q^k(x)=(-1)^k \frac{d^k}{dx^k}L_q(x)[/tex]
Io avevo iniziato cercando di spostare tutte le derivate da uno dei due polinomi(quello con grado più alto) ai restanti fattori sotto l'integrale(integrando per parti come si fa per la dimostrazione riguardo ai polinomi associati di legendre), ma mi pare che non si arrivi da nessuna parte.
Infatti in questo caso la metrica è [tex]e^{-x}[/tex] e le derivate non la buttano giù perciò non ottengo alla fine delle derivazioni una costante...
Come posso fare?
[tex]\int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} L_q^k(x) L_p^k(x) dx= A\, \delta_{pq}[/tex]
Dunque, partiamo da quello che so:
[tex]L_q(x)=e^x \frac{d^q}{dx^q} \left( e^{-x} x^q\right)[/tex] sono i polinomi di Laguerre definiti su [tex][0,+\infty)[/tex]
sono polinomi ortogonali rispetto alla "funzione metrica" [tex]e^{-x}[/tex]
[tex]\int_0^\infty L_q(x) L_p(x) e^{-x} dx=(q!)^2 \delta_{pq}[/tex]
I polinomi associati sono definiti
[tex]L_q^k(x)=(-1)^k \frac{d^k}{dx^k}L_q(x)[/tex]
Io avevo iniziato cercando di spostare tutte le derivate da uno dei due polinomi(quello con grado più alto) ai restanti fattori sotto l'integrale(integrando per parti come si fa per la dimostrazione riguardo ai polinomi associati di legendre), ma mi pare che non si arrivi da nessuna parte.
Infatti in questo caso la metrica è [tex]e^{-x}[/tex] e le derivate non la buttano giù perciò non ottengo alla fine delle derivazioni una costante...
Come posso fare?
Risposte
Da quel che ricordo di un corso di Dottorato sulle funzioni speciali, per dimostrare questa cosa si usano le proprietà di base di tali polinomi. Da qualche parte dovrei avere un elenco di tali proprietà, che legano la derivata di uno di essi al "successivo" (se non ricordo male. Ma al momento la mia memoria non mi aiuta molto.
EDIT: prova a guardare qui http://michelecampiti.unile.it/didattic ... eciali.pdf
EDIT: prova a guardare qui http://michelecampiti.unile.it/didattic ... eciali.pdf
traendo spunto dalle proprietà sulle slide postate da ciampax, mi è venuta un'idea, provo a svilupparla:
[tex]L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x} x^n)=e^x \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^{j} e^{-x}\; \frac{n!}{(n-(n-j))!} x^{n-(n-j)}=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^{j} \frac{n!}{j!} x^{j}[/tex]
[tex]L_n^k(x)= (-1)^k \sum_{j=k}^n (-1)^{j} \binom{n}{j} \frac{n!}{j!} \frac{j!}{(j-k)!} x^{j-k}=[/tex] (ponendo [tex]i=j-k[/tex])
[tex]=\sum_{i=0}^{n-k} (-1)^{i} \binom{n}{i+k} \frac{n!}{i!} x^{i}[/tex]
Ora, mettendo tutto sotto l'integrale si ottiene
[tex]\int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} L_n^k(x) L_m^k(x) dx= \int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} \, \sum_{i=0}^{n-k}\sum_{j=0}^{m-k} (-1)^{i+j} \binom{n}{i+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{i! j!} x^{i+j} \;dx=[/tex] (con la sostituzione [tex]s=i+j[/tex])
[tex]= \sum_{s=0}^{n+m-2k}\sum_{j=0}^{s} (-1)^{s} \binom{n}{s-j+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{(s-j)! j!} \int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} x^{s} \;dx=[/tex]
[tex]= \sum_{s=0}^{n+m-2k}\sum_{j=0}^{s} (-1)^{s} \binom{n}{s-j+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{(s-j)! j!} (s+k+1)![/tex]
dove nell'ultimo passaggio si è riconosciuta la [tex]\Gamma(s+k+2)[/tex]
E questa sommatoria dovrebbe fare [tex]0[/tex] se [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] sono diversi??
[tex]L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x} x^n)=e^x \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^{j} e^{-x}\; \frac{n!}{(n-(n-j))!} x^{n-(n-j)}=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^{j} \frac{n!}{j!} x^{j}[/tex]
[tex]L_n^k(x)= (-1)^k \sum_{j=k}^n (-1)^{j} \binom{n}{j} \frac{n!}{j!} \frac{j!}{(j-k)!} x^{j-k}=[/tex] (ponendo [tex]i=j-k[/tex])
[tex]=\sum_{i=0}^{n-k} (-1)^{i} \binom{n}{i+k} \frac{n!}{i!} x^{i}[/tex]
Ora, mettendo tutto sotto l'integrale si ottiene
[tex]\int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} L_n^k(x) L_m^k(x) dx= \int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} \, \sum_{i=0}^{n-k}\sum_{j=0}^{m-k} (-1)^{i+j} \binom{n}{i+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{i! j!} x^{i+j} \;dx=[/tex] (con la sostituzione [tex]s=i+j[/tex])
[tex]= \sum_{s=0}^{n+m-2k}\sum_{j=0}^{s} (-1)^{s} \binom{n}{s-j+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{(s-j)! j!} \int_0^\infty x^{k+1} e^{-x} x^{s} \;dx=[/tex]
[tex]= \sum_{s=0}^{n+m-2k}\sum_{j=0}^{s} (-1)^{s} \binom{n}{s-j+k}\binom{m}{j+k} \frac{n! m!}{(s-j)! j!} (s+k+1)![/tex]
dove nell'ultimo passaggio si è riconosciuta la [tex]\Gamma(s+k+2)[/tex]
E questa sommatoria dovrebbe fare [tex]0[/tex] se [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] sono diversi??
Mmmmm stavo pensando ad una cosa: ma i polinomi di Laguerre associati non si definiscono così:
[tex]$L_n^k(x)=(-1)^k\frac{d^k}{dx^k} L_{n+k}(x)$[/tex]????
[tex]$L_n^k(x)=(-1)^k\frac{d^k}{dx^k} L_{n+k}(x)$[/tex]????
Dove studio io no... e ne è proprio convinto perché dopo va a valutare le dimensioni dell'atomo di idrogeno e utilizza il fatto che [tex]L_n^k[/tex] è un polinomio di grado [tex]n-k[/tex].
Però ora che hai sollevato la questione, ho trovato anche definire i polinomi associati di Laguerre come [tex]L_n^{(\alpha)}(x)= e^x x^{-\alpha} \frac{d^n}{dx^n} (x^{n+\alpha} e^{-x})[/tex]
che la formula che dici sia legata a questa definizione? E che i due polinomi associati siano collegati???
Però ora che hai sollevato la questione, ho trovato anche definire i polinomi associati di Laguerre come [tex]L_n^{(\alpha)}(x)= e^x x^{-\alpha} \frac{d^n}{dx^n} (x^{n+\alpha} e^{-x})[/tex]
che la formula che dici sia legata a questa definizione? E che i due polinomi associati siano collegati???
Che io sappia, ogni successione di polinomi ortogonali si può definire in tanti modi, tra cui sempre una formula tipo quella di Fox (che si dice di Rodriguez) e una relazione ricorsiva, come quella suggerita da ciampax. Spesso per dimostrarne l'ortogonalità si usa mostrare, induttivamente, che la successione data è la stessa che si otterrebbe applicando il procedimento di Gram-Schmidt alla successione ${1, x, x^2, ...}$, naturalmente rispetto al prodotto scalare pesato, in questo caso
$<>=int_0^infty f(x)g(x)e^{-x}\ dx$.
E qui finiscono le mie conoscenze. Non credo di essere stato d'aiuto... So però che su questo argomento esistono libri specifici, come il classico Orthogonal Polynomials di G.Szegö.
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E qui finiscono le mie conoscenze. Non credo di essere stato d'aiuto... So però che su questo argomento esistono libri specifici, come il classico Orthogonal Polynomials di G.Szegö.
Segnalo anche i classici:
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ora consultabile online liberamente qui)
- Gradshtein & Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products,
che per i fisici sono indispensabili.
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ora consultabile online liberamente qui)
- Gradshtein & Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products,
che per i fisici sono indispensabili.
ok ho risolto, uff che fatica... 
Domani posto
Grazie a tutti per i preziosi aiuti!
Domani posto
Grazie a tutti per i preziosi aiuti!
"gugo82":[OT] Bello questo! Penso che resterà nei "bookmarks" per un bel pezzo.
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ora consultabile online liberamente qui)
Bene, risolto un problema se ne presenta subito un'altro 
(Eventualmente, per chi sa già le proprietà di questi polinomi, saltate tutto tranne l'ultimo conto; che verrà segnalato a caratteri grandi)
Definiamo (questi credo fossero i polinomi associati di Laguerre che intendeva ciampax, correggimi se sbaglio...)
[tex]L_n^{(\alpha)}(x)= e^x x^{-\alpha} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} \, x^{\alpha+n}\right)[/tex]
derivando con Leibniz se ne trova facilmente una formula esplicita e in sostanza si arriva agilmente alla relazione
[tex]-\frac{d}{dx} L_n^{(\alpha)}(x)=nL_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)[/tex]
Definiamo ora i polinomi associati "bis" (quelli che intendevo io), che verranno distinti perché non hanno le parentesi tonde nell'apice
(a rigore dovrebbero avere uno 0 tra parentesi perché i Laguerre "standard" si ottengono con [tex]\alpha=0[/tex])
[tex]L_n^k(x)=(-1)^k \frac{d^k}{dx^k}L_n(x)[/tex]
grazie alla relazione trovata prima si possono legare questi due polinomi associati
[tex]L_n^k(x)=(-1)^{k-1} \frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}} \left( n L_{n-1}^{(1)}(x) \right)=\frac{n!}{(n-k)!} L_{n-k}^{(k)}(x)[/tex]
A questo punto, anche alla luce di quanto detto nell'altro post https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 64635.html
i polinomi [tex]L_N^{(\alpha)}(x)[/tex] sono ortogonali rispetto alla funzione peso [tex]e^{-x} x^\alpha[/tex]
mentre invece io vorrei dimostrare che sono ortogonali rispetto a [tex]e^{-x} x^{\alpha+1}[/tex]!!!
Effettuando a mano i conti integrando per parti n volte, la norma mi torna giusta (vedi il conto dopo sostituendo n=m).
(ULTIMO CONTO!)
Ciò che non mi convince è che questi polinomi siano effettivamente ortogonali con questa "metrica"... Infatti, sia [tex]n>m[/tex]
[tex]\int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_n^k(x) L_m^k(x) dx=\frac{n! m!}{(n-k)! (m-k)!} \int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_{n-k}^{(k)}(x) L_{m-k}^{(k)}(x) dx[/tex]
chiamiamo [tex]N=n-k \;,\; M=m-k[/tex]
Ora vado a fare integrazione per parti, per motivi visti nell'altro post https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 64635.html l'integrale di "superficie" si annulla ad ogni passo, perciò
[tex]\int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( e^{-x} \, x^{N+k}\right) x L_{M}^{(k)}(x) dx=(-1)^N \int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{M}^{(k)}(x) \right) e^{-x} \, x^{N+k} dx[/tex]
se [tex]N[/tex] e [tex]M[/tex] sono molto distanti ok ma se [tex]M=N-1[/tex] (continuerò a volte, a scrivere M per non fare confusione)
[tex]\frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{N-1}^{(k)}(x) \right)=\sum_{j=0}^1 \binom{N}{j} \frac{d^j}{dx^j}x \;\; \frac{d^{N-j} }{dx^{N-j} } L_M^{(k)}(x)=x \cdot 0 + N (N-1)! K_M^{(k)}[/tex]
[tex]K_M^{(k)}=(-1)^M[/tex] è il coefficiente di [tex]x^M[/tex] in [tex]L_M^{(k)}(x)[/tex]
e perciò l'integrale là non si annulla ma diventa una Gamma di qualcosa...
(Eventualmente, per chi sa già le proprietà di questi polinomi, saltate tutto tranne l'ultimo conto; che verrà segnalato a caratteri grandi)
Definiamo (questi credo fossero i polinomi associati di Laguerre che intendeva ciampax, correggimi se sbaglio...)
[tex]L_n^{(\alpha)}(x)= e^x x^{-\alpha} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} \, x^{\alpha+n}\right)[/tex]
derivando con Leibniz se ne trova facilmente una formula esplicita e in sostanza si arriva agilmente alla relazione
[tex]-\frac{d}{dx} L_n^{(\alpha)}(x)=nL_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)[/tex]
Definiamo ora i polinomi associati "bis" (quelli che intendevo io), che verranno distinti perché non hanno le parentesi tonde nell'apice
(a rigore dovrebbero avere uno 0 tra parentesi perché i Laguerre "standard" si ottengono con [tex]\alpha=0[/tex])
[tex]L_n^k(x)=(-1)^k \frac{d^k}{dx^k}L_n(x)[/tex]
grazie alla relazione trovata prima si possono legare questi due polinomi associati
[tex]L_n^k(x)=(-1)^{k-1} \frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}} \left( n L_{n-1}^{(1)}(x) \right)=\frac{n!}{(n-k)!} L_{n-k}^{(k)}(x)[/tex]
A questo punto, anche alla luce di quanto detto nell'altro post https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 64635.html
i polinomi [tex]L_N^{(\alpha)}(x)[/tex] sono ortogonali rispetto alla funzione peso [tex]e^{-x} x^\alpha[/tex]
mentre invece io vorrei dimostrare che sono ortogonali rispetto a [tex]e^{-x} x^{\alpha+1}[/tex]!!!
Effettuando a mano i conti integrando per parti n volte, la norma mi torna giusta (vedi il conto dopo sostituendo n=m).
(ULTIMO CONTO!)
Ciò che non mi convince è che questi polinomi siano effettivamente ortogonali con questa "metrica"... Infatti, sia [tex]n>m[/tex]
[tex]\int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_n^k(x) L_m^k(x) dx=\frac{n! m!}{(n-k)! (m-k)!} \int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_{n-k}^{(k)}(x) L_{m-k}^{(k)}(x) dx[/tex]
chiamiamo [tex]N=n-k \;,\; M=m-k[/tex]
Ora vado a fare integrazione per parti, per motivi visti nell'altro post https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 64635.html l'integrale di "superficie" si annulla ad ogni passo, perciò
[tex]\int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( e^{-x} \, x^{N+k}\right) x L_{M}^{(k)}(x) dx=(-1)^N \int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{M}^{(k)}(x) \right) e^{-x} \, x^{N+k} dx[/tex]
se [tex]N[/tex] e [tex]M[/tex] sono molto distanti ok ma se [tex]M=N-1[/tex] (continuerò a volte, a scrivere M per non fare confusione)
[tex]\frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{N-1}^{(k)}(x) \right)=\sum_{j=0}^1 \binom{N}{j} \frac{d^j}{dx^j}x \;\; \frac{d^{N-j} }{dx^{N-j} } L_M^{(k)}(x)=x \cdot 0 + N (N-1)! K_M^{(k)}[/tex]
[tex]K_M^{(k)}=(-1)^M[/tex] è il coefficiente di [tex]x^M[/tex] in [tex]L_M^{(k)}(x)[/tex]
e perciò l'integrale là non si annulla ma diventa una Gamma di qualcosa...
"Fox":
Ciò che non mi convince è che questi polinomi siano effettivamente ortogonali con questa "metrica"... Infatti, sia [tex]n>m[/tex]
[tex]\int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_n^k(x) L_m^k(x) dx=\frac{n! m!}{(n-k)! (m-k)!} \int_0^\infty e^{-x } x^{k+1} L_{n-k}^{(k)}(x) L_{m-k}^{(k)}(x) dx[/tex]
chiamiamo [tex]N=n-k \;,\; M=m-k[/tex]
Ora vado a fare integrazione per parti, per motivi visti nell'altro post https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 64635.html l'integrale di "superficie" si annulla ad ogni passo, perciò
[tex]\int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( e^{-x} \, x^{N+k}\right) x L_{M}^{(k)}(x) dx=(-1)^N \int_0^\infty \frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{M}^{(k)}(x) \right) e^{-x} \, x^{N+k} dx[/tex]
se [tex]N[/tex] e [tex]M[/tex] sono molto distanti ok ma se [tex]M=N-1[/tex] (continuerò a volte, a scrivere M per non fare confusione)
[tex]\frac{d^N}{dx^N} \left( x L_{N-1}^{(k)}(x) \right)=\sum_{j=0}^1 \binom{N}{j} \frac{d^j}{dx^j}x \;\; \frac{d^{N-j} }{dx^{N-j} } L_M^{(k)}(x)=x \cdot 0 + N (N-1)! K_M^{(k)}[/tex]
[tex]K_M^{(k)}=(-1)^M[/tex] è il coefficiente di [tex]x^M[/tex] in [tex]L_M^{(k)}(x)[/tex]
e perciò l'integrale là non si annulla ma diventa una Gamma di qualcosa...
In effetti, ciò che si trova in giro (anche sui libri) è esclusivamente il risultato dell'integrale con n=m (e quello mi torna...), nessuno dice che sono ortogonali con [tex]e^{-x} x^{k+1}[/tex]
Ma come!
Queste soluzioni vengono fuori da un'Hamiltoniana HERMITIANA in meccanica quantistica. Se è Hermitiana, le sue autofunzioni devono essere ortogonali...E così uno avrebbe trovato invece che
[tex]\psi_{n,l,m}[/tex] non è ortogonale a [tex]\psi_{n+1,l,m}[/tex]
Nella pratica infatti ciò non è vero, ho già provato ad integrare qualche coppia di tali funzioni; perciò dov'è la pecca nella teoria? Eppure il conto citato mi pare giusto
up!
Questo conto proprio non mi torna... Eppure sono sicuro che le funzioni d'onda dell'atomo di idrogeno siano ortonormali
Qualcuno vede dove sbaglio?
Qualcosa non è chiaro?
Questo conto proprio non mi torna... Eppure sono sicuro che le funzioni d'onda dell'atomo di idrogeno siano ortonormali
Qualcuno vede dove sbaglio?
Qualcosa non è chiaro?
Ri up!
In realtà io ho usato una identità che mi riconduce all'integrazione "standard":
$int_0^(\+infty) e^(-x)x^(k+1)L_n^k(x)L_m^k(x)dx=((n+k)!)/(n!) (2n+k+1)\delta_(nm)$ avendo usato l'identità
$xL_n^k=(2n+k+1)L_n^k-(n+k)L_(n-1)^k-(n+1)L_(n+1)^k$ mi sono ricondotto ad una metrica del tipo $e^(-x)x^(\alpha)$
dove le autofunzioni hai trovato essere ortogonali..... so che non è una definizione rigorosa ma spero di averti aiutato un pochino.....
avendo usato la definizione $L_n^k(x)=(e^(x)x^(-k))/(n!) (d^n)/(dx^n)(e^(-x)x^(n+k))$ noto che la tua definizione è diversa ...forse per questo
non si annulla
$int_0^(\+infty) e^(-x)x^(k+1)L_n^k(x)L_m^k(x)dx=((n+k)!)/(n!) (2n+k+1)\delta_(nm)$ avendo usato l'identità
$xL_n^k=(2n+k+1)L_n^k-(n+k)L_(n-1)^k-(n+1)L_(n+1)^k$ mi sono ricondotto ad una metrica del tipo $e^(-x)x^(\alpha)$
dove le autofunzioni hai trovato essere ortogonali..... so che non è una definizione rigorosa ma spero di averti aiutato un pochino.....
avendo usato la definizione $L_n^k(x)=(e^(x)x^(-k))/(n!) (d^n)/(dx^n)(e^(-x)x^(n+k))$ noto che la tua definizione è diversa ...forse per questo
non si annulla
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