Normalità dominio in integrale doppio
Salve a tutti, come da titolo vorrei sapere se l'integrale doppio $\int int y/(1+x^2) dxdy$ con $1<=x<=3$ e $0<=y<=2$
si può sviluppare utilizzando sia la formula di riduzione per i domini normali ad x, sia quella per i domini normali a y, quindi mi verrebe da pensare che sia normale ad entrambi, ma non ne sono affatto sicuro...
si può sviluppare utilizzando sia la formula di riduzione per i domini normali ad x, sia quella per i domini normali a y, quindi mi verrebe da pensare che sia normale ad entrambi, ma non ne sono affatto sicuro...
Risposte
[mod="Gugo82"]Ti dispiacerebbe inserire dei simboli di integrale corretti? (Ho cancellato io quelli che avevi inserito.)
Ti ricordo che dopo 30 post sei obbligato dal regolamento a scrivere in MathML.[/mod]
Poi, non capisco cosa c'entra il quindi con quanto scritto prima...
Le formule di riduzione le puoi usare solo se hai preventivamente accertato che il dominio è normale rispetto ad un asse.
La tua "domanda" fa pensare che svolgi gli esercizi meccanicamente e che non hai capito perchè fai certi passaggi.
Ti ricordo che dopo 30 post sei obbligato dal regolamento a scrivere in MathML.[/mod]
Poi, non capisco cosa c'entra il quindi con quanto scritto prima...
Le formule di riduzione le puoi usare solo se hai preventivamente accertato che il dominio è normale rispetto ad un asse.
La tua "domanda" fa pensare che svolgi gli esercizi meccanicamente e che non hai capito perchè fai certi passaggi.
Mi scuso per non aver usato prima il MathML, anche se obiettivamente mi sembrava comprensibile anche prima..
Comunque si, hai ragione, purtroppo il corso di analisi matematica è stato fatto molto male, siamo stati lasciat per la stragrande maggioranza del tempo nelle mani del tutor che ha fatto leva esclusivamente sulla parte pratica senza soffermarsi sulla parte teorica... quindi certi meccanismi non sono chiari sotto il profilo teorico. In questo caso so che posso ridurre l'integrale utilizzando sia le formule di riduzione rispetto ad x che a y poichè non compaiono funzioni negli intervalli in cui si trovano le suddette variabili, ma solo valori numerici. Quindi svolgerle rispetto a x normale o a y normale non presenta differenze nel risultato(ne fa privilegiare una formula di riduzione rispetto all'altra), ma vorrei sapere da un punto di vista teorico se la situazione cambia...
Comunque si, hai ragione, purtroppo il corso di analisi matematica è stato fatto molto male, siamo stati lasciat per la stragrande maggioranza del tempo nelle mani del tutor che ha fatto leva esclusivamente sulla parte pratica senza soffermarsi sulla parte teorica... quindi certi meccanismi non sono chiari sotto il profilo teorico. In questo caso so che posso ridurre l'integrale utilizzando sia le formule di riduzione rispetto ad x che a y poichè non compaiono funzioni negli intervalli in cui si trovano le suddette variabili, ma solo valori numerici. Quindi svolgerle rispetto a x normale o a y normale non presenta differenze nel risultato(ne fa privilegiare una formula di riduzione rispetto all'altra), ma vorrei sapere da un punto di vista teorico se la situazione cambia...
Abbiamo parlato di questo argomento qui, prova a dare un'occhiata:
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 39164.html
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 39164.html
"SoDiNonSapere":
Mi scuso per non aver usato prima il MathML, anche se obiettivamente mi sembrava comprensibile anche prima...
Mi spiace deluderti: il Mac all'università non leggeva i simboli... Ma non è questo il punto.
Il punto fondamentale è che esiste un regolamento che va rispettato (soprattutto dagli utenti che partecipano "assiduamente" alla vita del foro).
"SoDiNonSapere":
In questo caso so che posso ridurre l'integrale utilizzando sia le formule di riduzione rispetto ad x che a y poichè non compaiono funzioni negli intervalli in cui si trovano le suddette variabili, ma solo valori numerici.
Cosa significa ciò? (Mi è venuta una botta di maieutica...
)Che vuol dire che un dominio è normale rispetto ad uno dei due assi?
"SoDiNonSapere":
Quindi svolgerle rispetto a x normale o a y normale non presenta differenze nel risultato (né fa privilegiare una formula di riduzione rispetto all'altra), ma vorrei sapere da un punto di vista teorico se la situazione cambia...
Che non presenti differenza non è un fatto casuale.
Se l'integrale doppio esiste allora le due formule di riduzione portano allo stesso risultato; nel tuo caso, la funzione integranda $f(x,y)=y/(1+x^2)$ è continua nel rettangolo (perchè di rettangolo si tratta... Il "tutor" almeno vi ha insegnato a visualizza le cose prima di mettervi a fare conti?) $R=[1,3]\times [0,2]$, perciò essa è integrabile e l'integrale doppio di Riemann $\int\int_R f(x,y)" d"x"d"y$ esiste finito, quindi niente differenza nel risultato applicando l'una o l'altra formula.
Che intendi con "vorrei sapere da un punto di vista teorico se la situazione cambia"?
Mi spiace deluderti: il Mac all'università non leggeva i simboli... Ma non è questo il punto.
Forse perchè ho fatto copia incolla dal derive....
Che vuol dire che un dominio è normale rispetto ad uno dei due assi?
Be, mi verrebbe più facile esprmerlo graficamente che a parole, ma credo si possa definire dominio normale all'asse x l'insieme dei punti del piano tali che x sia compreso tra 2 valori delle ascisse (del tipo $a<=x<=b$) mentre y sia compresa tra 2 funzioni di x(tipo$a(x)<=y<=b(x)$)
Il "tutor" almeno vi ha insegnato a visualizza le cose prima di mettervi a fare conti?
Purtroppo no.... Piuttosto ci ha proposto una serie di casi facilmente riconoscibili (equazioni del cerchio, ellissi, triangoli) oppure generalmente ci dava lei stessa gli intervalli in cui erano compresi x e y, quindi non avevamo nemmeno bisogno di ricavarli... E ripeto purtroppo.
perchè di rettangolo si tratta
Se si tratta di rettangolo, allora sarà normale ad entrambi gli assi, o mi sbaglio?
"SoDiNonSapere":Che vuol dire che un dominio è normale rispetto ad uno dei due assi?
Be, mi verrebbe più facile esprmerlo graficamente che a parole, ma credo si possa definire dominio normale all'asse x l'insieme dei punti del piano tali che x sia compreso tra 2 valori delle ascisse (del tipo $a<=x<=b$) mentre y sia compresa tra 2 funzioni di x(tipo$a(x)<=y<=b(x)$)
Una definizione un po' più elementare è la seguente.
Sia $D \subseteq RR^2$ un dominio (ossia la chiusura di un aperto).
Si dice che $D$ è normale all'asse $(x)$ se e solo se, comunque si scelga una retta $r$ ortogonale all'asse $(x)$, si presenta uno ed uno solo di questi casi:
1) $Dcap r$ è vuoto;
2) $Dcap r$ è un singleton (insieme ridotto ad un punto);
3) $Dcap r$ è un segmento chiuso;
4) $Dcap r$ è una semiretta chiusa;
5) $Dcap r$ coincide con $r$.
In altre parole, $D$ è normale ad $(x)$ se tutte le sezioni di $D$ fatte mediante rette ortogonali a $(x)$ sono chiuse e connesse.
La stessa definizione va bene pure per domini normali ad $(y)$ (ovviamente bisogna sostituire $(y)$ al posto di $(x)$ nelle frasi precedenti).
"SoDiNonSapere":Il "tutor" almeno vi ha insegnato a visualizza le cose prima di mettervi a fare conti?
Purtroppo no.... Piuttosto ci ha proposto una serie di casi facilmente riconoscibili (equazioni del cerchio, ellissi, triangoli) oppure generalmente ci dava lei stessa gli intervalli in cui erano compresi x e y, quindi non avevamo nemmeno bisogno di ricavarli... E ripeto purtroppo.
Probebilmente è stata questione di tempo.
Anche io sto avendo problemi con sole due ore a settimana... Però è il primo anno che do una mano in aula, quindi spero di migliorare col tempo.
Ad ogni modo, farsi un disegno di massima (o comunque cercare di visualizzare la situazione) è sempre un buon punto di partenza per la risoluzione degli esercizi.
"SoDiNonSapere":perchè di rettangolo si tratta
Se si tratta di rettangolo, allora sarà normale ad entrambi gli assi, o mi sbaglio?
Esatto.
E lo puoi verificare facendo un disegnino e vedendo se è soddisfatta la definizione data prima.
Perfetto, adesso credo di avere finalmente le idee più chiare... grazie mille davvero per l'aiuto! =)
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